Radon transform on a space over a residue class ring (Q2914405)

Seien \(n\) und \(N\) natürliche Zahlen, sei \(\mathbb Z_n\) der Restklassenring modulo \(n\) und sei \(G= \operatorname{GL}(N,\mathbb Z_n)\) die Gruppe der invertierbaren \(N\times N\)-Matrizen mit Einträgen aus \(\mathbb Z_n\). Die Menge \(L(\mathbb Z^N_n)\) aller komplexwertigen Funktionen auf dem \(\mathbb Z_n\)-Modul \(\mathbb Z^N_n\) bildet eine kommutative Faltungsalgebra, auf der \(G\) in kanonischer Weise operiert. Die Menge \({\mathcal M}(\mathbb Z^N_n)\) der \(G\)-invarianten Funktionen in \(L(\mathbb Z^N_n)\) bildet eine Unteralgebra von \(L(\mathbb Z^N_n)\). Jedes Element von \({\mathcal M}(\mathbb Z^N_n)\) schreibt sich als Linearkombination der charakteristischen Funktionen der \(G\)-Bahnen \(A_1,\dotsc, A_s\) in \(\mathbb Z^N_n\), also in der Form NEWLINE\[NEWLINE\sum^s_{k=1} c_k \chi_{A_k}.NEWLINE\]NEWLINE Eine Hyperebene in \(\mathbb Z^N_n\) ist per definitionem eine Menge \(h\) von Punkten \(x= (x_1,\dotsc, x_N)\in \mathbb Z^N_n\), die einer Gleichung der Form \(a_1x_1+\dotsb+ a_N x_N= c\) genügen. Ist \(H\) die Menge aller Hyperebenen, so ist die Radon-Transformierte \({\mathcal R}f\) einer Funktion \(f\in L(\mathbb Z^N_n)\) die durch NEWLINE\[NEWLINE{\mathcal R}f(h):= \sum_{x\in h} f(x)NEWLINE\]NEWLINE definierte Funktion auf \(H\). Die duale Radon-Transformation \({\mathcal R}^\ast\) ordnet jeder Funktion \(F\) auf \(H\) die durch NEWLINE\[NEWLINE({\mathcal R}^\ast F)(x):= \sum_{h\ni x} F(h)NEWLINE\]NEWLINE definierte Funktion auf \(\mathbb Z^N_n\) zu. Der Operator \(S:={\mathcal R}^\ast{\mathcal R}: L(\mathbb Z^N_n)\to L(\mathbb Z^N_n)\) hat die Form NEWLINE\[NEWLINE(Sf)(x)=\sum_{y\in\mathbb Z^N_n} S(x,y) f(y),NEWLINE\]NEWLINE wobei \(S(x,y)\) die Anzahl aller Hyperebenen durch \(x\) und \(y\) ist. Zur Lösung des Inversionsproblems der Radon-Transformation \({\mathcal R}\) genügt es offenbar, die Invertierbarkeit des Operators \(S\) zu beweisen und den Operator \(S^{-1}\) zu bestimmen; denn dann ist \(S^{-1}{\mathcal R}^\ast\) ein Linksinverses von \({\mathcal R}\).NEWLINENEWLINE Man kann \(S(x,y)\) als Matrix des Operators \(S\) interpretieren. Der Operator \(S\) ist genau dann invertierbar, wenn die Matrix \(S(x,y)\) invertierbar ist. Nun gilt \(S(x,y)= T(x-y)\), wobei \(T(x)\) die Anzahl der Hyperebenen ist, die durch \(0\) und \(x\) gehen. Die Funktion \(x\mapsto T(x)\) ist \(G\)-invariant, also ein Element von \({\mathcal M}(\mathbb Z^N_n)\). Ist \(S\) invertierbar und ist \(\widehat S(x, y)\) die Matrix des Operators \(S^{-1}\), so gilt \(\widehat S(x, y)=\widehat T(x- y)\), wobei \(\widehat T\) das Faltungsinverse \(T^{-1}\) von \(T\) in der Algebra \({\mathcal M}(\mathbb Z^N_n)\) ist. Der Nachweis der Invertierbarkeit von \(S\) und die Bestimmung von \(S^{-1}\) läuft also auf die Bestimmung von \(T^{-1}\) hinaus.NEWLINENEWLINE Der Autor führt jetzt ausführliche strukturelle Untersuchungen der Algebra \({\mathcal M}(\mathbb Z^N_n)\) durch. Er charakterisiert die \(G\)-Bahnen \(A_1,\dotsc, A_s\) in \(\mathbb Z^N_n\), bestimmt deren Anzahl und Mächtigkeit und gibt schließlich die Koeffizienten \(c_k\), \(k= 1,\dotsc, s\), in der Darstellung von \(T^{-1}\) als Linearkombination der charakteristischen Funktionen der \(G\)-Bahnen explizit an.