An alternative product representation of cyclotomic polynomials (Q294072)

Summary: Für die Kreisteilungspolynome oder zyklotomischen Polynome \(\Phi_n\) kennt man neben der Zerlegung in Linearfaktoren eine Reihe weiterer Darstellungen. Beispielsweise erhält man mit Hilfe der Möbius-Funktion die Formel \(\Phi_n (x) = \prod_{d|n} (x^d -1)^{\mu (n/d)}\). Über die Koeffizienten der \(\Phi_n\) ist einiges bekannt, so sind sie ganzzahlig und wenn \(n\) Produkt zweier Primzahlen ist, liegen die Koeffizienten in der Menge \(\{-1, 0, 1\}\). Andererseits können sie beliebig gross werden, wie Schur bereits bemerkte. Eine besonders schöne Formel für \(\Phi_n\) wird in der vorliegenden Arbeit präsentiert: Sie folgt aus der Betrachtung der diskreten Fourier-Transformation und zeigt auf einen Blick, dass die Koeffizienten reell sind. Als Nebenergebnis erscheint eine bekannte Summendarstellung der Eulerschen Phi-Funktion.