Finding vector-space bases at random (Q294085)

Summary: Eine Basis in einem gegebenen Vektorraum zu finden ist nicht immer einfach. Im Allgemeinen benötigt man für ein solches Unterfangen das Auswahlaxiom. Aber bereits in endlichdimensionalen Räumen über endlichen Körpern ergeben sich interessante Fragen: Wieviele Basen hat ein solcher Vektorraum? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit eine Basis zu finden, wenn man eine zufällige Kollektion von Vektoren herausgreift? Wie verhält sich diese Wahrscheinlichkeit, wenn die Dimension oder die Kardinalität des Körpers gross wird? Bei der Beantwortung dieser Fragen spielen zahlentheoretische Erwägungen eine Rolle, aber auch der Eulersche Pentagonalzahlensatz und die Theorie elliptischer Funktionen tauchen an überrraschender Stelle auf. Der Autor der vorliegenden Arbeit illustriert seine Ausführungen mit numerischen Daten.