Introduction to probability theory (Q364223)

Das Buch bietet eine kompakte Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ist als ergänzende Literatur zur entsprechenden Vorlesung für Studierende geeignet. Es ist wie folgt aufgebaut: Nach einer kurzen Einleitung (Kapitel 1) wird das Konzept des Wahrscheinlichkeitsraumes \((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\) eingeführt (Kapitel 2). Hierzu werden insbesondere messbare Räume und \(\sigma\)-Algebren definiert, bevor zu Wahrscheinlichkeitsmaßen übergegangen wird. Zudem werden die Begriffe bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit eingeführt sowie das Lemma von Borel-Cantelli dargestellt und bewiesen. In Kapitel 3 werden diskrete Verteilungen und Zufallsvariablen behandelt, in Kapitel 4 schließlich absolutstetige Verteilungen und entsprechende Zufallsvariablen. Für beide Formen wird die Berechnung des dazugehörigen Erwartungswertes erläutert, zudem illustrieren geeignete Beispiele diese Begriffe. In Kapitel 5 werden schließlich sämtliche Wahrscheinlichkeitsmaße auf der reellen Achse charakterisiert. Insbesondere wird hierbei auf die Eindeutigkeit von Wahrscheinlichkeitsmaßen eingegangen und es werden Verteilungsfunktionen sowie deren Eigenschaften vorgestellt. Für die allgemeine Herleitung des Erwartungswertes in Kapitel 6 wird zuerst die Messbarkeit von Zufallsvariablen behandelt. Anschließend wird der Erwartungswert zuerst für elementare, dann für nichtnegative und schließlich für allgemeine Zufallsvariablen definiert. Zudem werden seine relevanten Eigenschaften wie Linearität und Monotonie sowie das Lemma von Fatou und der Konvergenzsatz von Lebesgue gezeigt. In Kapitel 7 werden unabhängige Zufallsvariablen und ihr Zusammenhang zu Produktmaßen charakterisiert. Weiterhin wird der Satz von Fubini gezeigt und das Null-Eins-Gesetz von Kolmogorov vorgestellt. Die Transformation von Zufallsvariablen für ein- oder mehrdimensionale Verteilungen mit Dichten wird schließlich in Kapitel 8 behandelt. Charakteristische Funktionen von Zufallsvariablen werden in Kapitel 9 eingeführt. Sie haben viele nützliche Eigenschaften für bestimmte Probleme, z.B. der Berechnung von Erwartungswert und Varianz. Zudem wird der Eindeutigkeitssatz für Fouriertransformierte gezeigt. Kapitel 10 behandelt dann wichtige Konvergenzarten von Zufallsvariablen und Verteilungen, insbesondere den Satz von Portmanteau und den Stetigkeitssatz von Lévy. Das Gesetz der großen Zahlen und der zentrale Grenzwertsatz werden in Kapitel 11 präsentiert. Den Abschluss bildet eine genauere Untersuchung von ein- und mehrdimensionalen Normalverteilungen in Kapitel 12, die auch die mehrdimensionale Version des zentralen Grenzwertsatzes enthält. Insgesamt werden alle Kapitel anschaulich dargestellt und sind mit vielen Beispielen versehen. Relevante Resultate aus der Analysis und der linearen Algebra finden sich im Anhang des Buches.