Locally finitely presented categories with no flat objects (Q487130)

Es sei \(\mathcal{A}\) eine endlich präsentierte abelsche Kategorie. Wir erinnern daran, daß ein Objekt \(F\) in \(\mathcal{A}\) \textit{flach} genannt wird, wenn jeder Epimorphismus \( f: X\twoheadrightarrow F\) \textit{rein} ist (das heisst: \(f\) induziert eine Surjektion \(\text{Hom}_\mathcal{A}(T,X)\to \text{Hom}_\mathcal{A}(T,F)\) für jedes endlich präsentiere Objekt \(T\) von \(\mathcal{A}\)). Wenn die Kategorie \(\mathcal{A}\) aus einem geometrischen Kontext herkommt, kann ein anderer Begriff Flachheit bestehen; der Artikel zeigt, daß der kategorische Begriff Flachheit sich anders verhält. Vor allem gibt die Arbeit von Estrada und Saorín weite Klassen von schönen endlich präsentierten Grothendieck Kategorien ohne flache Objekte (bis auf \(0\)). Das erste Kriterium dafür ist das Vorhandensein einer geeigneten Stratifikation in einer Menge von endlich präsentierten Erzeugern der Kategorie. Dieses allgemeine Kriterium wird zuerst auf gewisse Quotientkategorien von graduierten Moduln angewandt. Ein Theorem von Serre, das eine Äquivalenz zwischen einer solchen Quotientkategorie und der Kategorie der quasikohärenten Garben über einem projektiven Schema gibt, erlaubt geometrische Beispiele zu erhalten. So enthält die Kategorie der quasikohärenten Garben über \(\mathbb{P}^n(R)\), wo \(n>0\) eine ganze Zahl und \(R\) ein kommutativer Ring ist, kein (kategorisch) flaches Objekt bis auf \(0\) (Corollary 4.6 im Artikel). Danach gibt der Artikel Anwendungen des allgemeinen Kriteriums in der Köcherdarstellungstheorie, mit konkreten kombinatorischen Kriterien.