Birational transformations and values of the Riemann zeta-function (Q558150)

In seinem Beweis des Apéryschen Satzes über die Irrationalität von \(\zeta(3)\) (bzw. derjenigen von \(\zeta(2)=\pi^2/6\)) führte \textit{F. Beukers} [Bull. Lond. Math. Soc. 11, 268--272 (1979; Zbl 0421.10023)] Dreifachintegrale (bzw. Doppelintegrale) über geeignete rationale Funktionen ein, die ``gute'' Folgen rationaler Approximationen an \(\zeta(3)\) (bzw. \(\zeta(2)\)) lieferten. Beukers' Methode wurde in der Folgezeit von Dvornicich und Verf., von Hata sowie von Rhin und Verf. ausgebaut, was zu stets schärferen Schranken für die Irrationalitätsexponenten \(\mu(\dots)\) von \(\zeta(2)\) und \(\zeta(3)\) führte. Verf. gibt hier einen Überblick über seine neuesten, gemeinsam mit \textit{G. Rhin} [Acta Arith. 77, 23--56 (1996; Zbl 0864.11037); ibid. 97, 269--293 (2001; Zbl 1004.11042)] erzielten Resultate \(\mu(\zeta(2))<5,441242...\) bzw. \(\mu(\zeta(3))<5,513890\dots\) . Diese Verschärfungen beruhen auf einer neuen algebraischen Methode, in der es um birationale Transformationen und Permutationsgruppen geht, die auf Doppel- bzw. Dreifachintegralen vom Beukersschen Typ operieren. In den beiden letzten Abschnitten wird eine konstruktive Methode vorgestellt, mit der man die einschlägigen birationalen Transformationen für Dreifachintegrale aus den analogen Transformationen für Doppelintegrale gewinnen kann. Weiterhin wird eine Methode angegeben, die zu birationalen Transformationen führt, die auf Vierfachintegralen operieren, wie sie \textit{D. V. Vasil'ev} [Dokl. Nats. Akad. Nauk Belarusi 45, 36--40 (2001)] zur Gewinnung ``kleiner'' ganzzahliger Linearformen in \(1,\zeta(2),\zeta(4)\) betrachtet hat.