On correlation surfaces of sums with a certain number of random elements in common. (Q558842)

Gegeben ist eine Grundverteilung \(f(t)\) der zufälligen Veränderlichen \(t\). Es werden Summenverteilungen und ihre gegenseitigen Beziehungen untersucht, die - im einfachsten Fall - aus ihr hervorgehen, indem die Summe von \(n_1\) zufällig herausgegriffenen Werten \(t\) als \(x_1\) und von \(n_2\) Werten \(t\) als \(x_2\) zusammengefaßt werden; dabei sind aber die ersten \(k_{12}\) von den Werten, die \(x_2\) aufbauen, nach dem Zufall aus den \(n_1\) Werten, die \(x_1\) bilden, herausgegriffen. Die Frage wird auf drei und mehr solche abgeleiteten Verteilungen verallgemeinert. Verf. betrachtet nacheinander im Anschluß\ an \textit{Bachelier} (1912; F. d. M. 43, 288 (JFM 43.0288.*)-290) und \textit{Graig} (On the distribution of certain statistics, Amer. J. 54 (1932), 353-366; F. d. M. 58) Grundvariable mit einem Wertevorrat von \(-\infty \) bis \(+\infty \), von 0 bis \(\infty \), von 0 bis \(a\). Jedesmal werden die abgeleiteten Verteilungen, die Korrelationsfläche, Regressionsgleichungen und der Korrelationskoeffizient bestimmt. Es ergibt sich lineare Regression, der Korrelationskoeffizient wird im Falle von zwei abgeleiteten Veränderlichen z. B. \(r_{x_1x_2}=\dfrac {k_{12}}{(n_1n_2)^{\tfrac 12}}\), bei drei Veränderlichen: \(r_{x_1x_3}=r_{x_1x_2}r_{x_2x_3}\). Verf. bestätigt speziellere Ergebnisse von \textit{J. C. Kapteyn} (Monthly Notices 72 (1912), 518-525) und \textit{H. L. Rietz} (A simple non-normal correlation surface, Biometrika 24 (1932), 288-290; F. d. M. 58).