The densities of the regular polytopes. III: Non-Euclidean polytopes. (Q559364)

In dem vorliegenden letzten Teile der Arbeit (man vgl. Verf., The densities of the regular polytopes I, II; Proceedings Cambridge 27 (1931), 201-211; 28 (1932), 509-521; F. d. M. 57, 58 (JFM 57.0058.*)) untersucht Verf. die \textit{Schläfli}schen Symbole \(\{ k_1,k_2,\dots,k_{m-1}\}\) mit beliebigen rationalen Zahlen. Falls das Symbol kein Polytop im gewöhnlichen Sinne repräsentiert, so kann es bei ganzen \(k_{\mu }>2\) einem Polytop zugeordnet werden in einem verallgemeinerten \textit{Minkowski}schen Raume. Ist eines der \(k_{\mu }\) ein Bruch, so ist die Dichte (density) unendlich, ausgenommen in den Fällen \[ \{ 3,\dots,3,p,p/2,p,3,\dots,3\} \qquad (p=5,7,9,\dots ), \] wobei \(p/2\) an jeder Stelle des Symbols stehen kann. Einige dieser Symbole repräsen\-tieren Polytope im gewöhnlichen Sinne; die anderen lassen sich Polytopen im \textit{Min\-kowski}schen Raume zuordnen. Ihre Dichte ist \(\binom {m}{n}\), wenn die Anzahl der Glieder \(m\) und \(p/2\) an der \(n\)-ten Stelle im Symbol steht. Eine Konstruktion dieser Polytope wird angegeben.