Die beiden Dodekaederräume. (Q559403)

Es handelt sich um eine geschlossene sphärische - bzw. hyperbolische - Raumform, die aus einem Dodekaeder des sphärischen - bzw. hyperbolischen - Raumes durch Identifizierung gegenüberliegender Seitenflächen sich gewinnen läßt. Das Dodekaeder muß\ jeweils geeignet genommen werden, d. h. mit geeignetem Radius seiener Umkugel oder, was dasselbe bedeutet, mit geeignetem Kantenwinkel \(\big ( \dfrac {2\pi }{3}\) im sphärischen, \(\dfrac {2\pi }{5}\) im hyperbolischen Fall\(\big )\). Insbesondere studiert werden die topologischen Eigenschaften der durch die beiden Raumformen dargestellten geschlossenen dreidimensionalen Räume. Vom sphärischen Dodekaederraum wird gezeigt, daß\ er homöomorph ist sowohl dem von \textit{Poincaré} (Rendiconti Palermo 18 (1904), 45-110 (F. d. M. 35, 504 (JFM 35.0504.*)-505) insbesondere S. 109) als dem von \textit{Dehn} (1910; F. d. M. 41, 543 (JFM 41.0543.*)) angegeben Beispiel eines ``Poincaréschen Raumes'' (numerische Invarianten = denen des sphärischen Raumes). Der Beweis ergibt sich aus der Gleichheit der Fundamentalgruppe und daraus, daß\ jeder der fraglichen drei Räume sich als \textit{gefaserter Raum} erweisen läßt. Eine andere Darstellung des gleichen topologischen Raumes erhält man, wenn man im gewöhnlichen (sphärischen) \(R_3\) auf einer gewöhnlichen (unverknotten) Torusfläche eine geschlossene Linie \(L\) zieht, die fünfmal den Ring durchläuft und ihn dabei dreimal umschlingt; der sphärische Dodekaederraum kann dann als zweifacher Überlagerungsraum des \(R_3\) mit der (verknotten) Linie \(L\) als Verzweigungslinie dargestellt werden. - Der hyperbolische Dodekaederraum dagegen erweist sich als nicht faserbar; darstellbar ist er als fünffacher Überlagerungsraum des \(R_3\) mit zwei unverknotten, aber geeignet verketetten Verzweigungslinien.