Du nombre des points de ramification des transformations intérieures sur une variété topologique à deux dimensions. (Q559431)

Als ``innere Abbildung'' bezeichnet man eine stetige Abbildung, die offene Mengen in offene Mengen, Kontinua in Kontinua überführt. Hier wird für innere Abbildungen von Flächen folgende Verallgemeinerung der \textit{Hurwitz}schen Formel für die Anzahl der Verzweigungspunkte bewiesen: \(d\) sei ein kompakter abgeschlossener Bereich einer orientierbaren (offenen oder geschlossenen) Fläche \(s\), \(f\) eine innere Abbildung von \(s\) in eine orientierbare Fläche \(S\), bei der das Bild der Grenze von \(d\) aus \(k\) paarweise fremden, einfach geschlossenen Kurven \(\varGamma _{\chi }\) \((\chi =1,\dots,k)\) besteht, die \(S\) in eine Anzahl von Gebieten \(R_{\lambda }\) \((\lambda =1,\dots,l)\) zerlegen, derart, daß\ jedes \(\varGamma _{\chi }\) Grenze von zwei Gebieten ist; auf der Grenze von \(d\) liege kein Verzweigungspunkt von \(f\). Dann ist \(d\) ein ebenfalls von endlich vielen paarweise fremden, einfach geschlossenen Kurven begrenzter Bereich mit endlicher Zusammenhangszahll \(c\), und für die Anzahl \(\omega \) der Verzweigungspunkte in \(d\) gilt: \[ \omega =c-2+\sum \limits _{\lambda =1}^{l}n_{\lambda }(2-C_{\lambda }), \] wo die \(n_{\lambda }\) die Abbildungsgrade in der einzelnen \(R_{\lambda },C_{\lambda }\) die Zusammenhangszahlen der \(R_{\lambda }\) sind. Das Ergebnis wird noch in einer Richtung verallgemeinert: Die Formel für \(\omega \) gilt auch für die Anzahl der Verzweigungspunkte in der (evtl. offenen) Fläche \(s\) von endlichem Geschlecht, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: Für alle Punktfolgen \(p_{\nu }\) ohne Häufungspunkt in \(s\) liegen die Häufungspunkte von \(f(p_{\nu })\) auf endlich vielen Kurven \(\varGamma _{\chi }\) von \(S\) mit den oben genannten Eigenschaften; die Menge der Punkte von \(s\), deren Bildpunkte auf den \(\varGamma _{\chi }\) liegen, ist kompakt. Verf. gibt einige Fälle an, in denen die Formel für \(\omega \) die Eineindeutigkeit der Abbildung liefert, und weist auf funktionentheoretische Anwendungen hin. (IV 5.)