Sur la division d'une sphère en trois ensembles. (Q559447)

\textit{Lusternik} und \textit{Schnirelmann} sowie unabhängig von ihnen \textit{Borsuk} (1933; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 560) haben den folgenden Satz bewiesen: Ist die \(n\)-dimensionale Sphäre \(S^n\) mit \(n+1\) Mengen überdeckt, so ist der Durchmesser wenigstens einer dieser Mengen gleich dem Durchmesser der Sphäre. Für den Fall \(n=2\), also für den Fall der gewöhnlichen Kugelfläche, geben die Verf. einen neuen Beweis dieses Satzes; dieser Beweis liefert sogar den folgenden allgemeineren Satz: Ist die Kugelfläche \(S^2\) mit drei abgeschlossenen (nicht notwendigerweise zusammenhängenden) Mengen überdeckt und ist \(f\) eine stetige Abbildung von \(S^2\) in sich, so gibt es ein Punktepaar \(\{ x,f(x)\}\), das in \textit{einer} der drei Mengen enthalten ist. (Die Verf. formulieren diesen Satz unnötigerweise nur für den Fall, daß\ \(f\) eineindeutig ist.)