Über dünne Kugelpackungen. (Q559563)

Es handelt sich hier um Kugelpackungen in folgendem Sinne: Ein System von einander nicht durchdringenden, kongruenten Kugeln ist so im Raum verteilt, daß\ (1) die Dichte der Packung in einer Kugel vom Radius \(r\) mit \(r\to \infty \) gegen einen positiven Grenzwert strebt, daß\ (2) jede Kugel durch eine kongruente Abbildung (Bewegung oder Spiegelung) des ganzen Systems in sich in jede andere übergeführt werden kann, daß\ (3) mindestens zwei Kugeln des Systems sich berühren und daß\ (4) man je zwei Kugelmittelpunkte durch einen Streckenzug aus lauter Berührungshalbmessern verbinden kann. Die Figur, die aus einer Kugel und den \(k\) Kugeln, die diese berühren, besteht, ihre gegenseitigen Berührungen eingerechnet, heißt eine Nachbarschaftsfigur und \(k\) die Koordinationszahl. Da die sonst üblichen Festigkeitsforderungen fehlen, sind, wie \(F\). \textit{Laves} gezeigt hat (Zur Klassifikation der Silikate, Z. f. Kristallographie 82 (1932), 1-14, insbesondere S. 10), Kugelpackungen mit der Koordinationszahl 3 (Dreierpackungen) möglich. Die Verf. stellten sich nun die Aufgabe, alle Kugelpackungen der Koordinationszahl 3 oder 4 zu bestimmen und unter diesen die mit geringster Dichte aufzusuchen. Nach der Art der Nachbarschaftsfiguren ergeben sich zwei Typen von Dreierpackungen und vier Typen von Viererpackungen. Die Verf. konstruieren die symmetrischsten (kubischen und hexagonalen) Realisationen dieser Packungen und berechnen deren Dichten. So erhalten sie ein Beispiel geringster bisher bekannter Dichte. Der Nachweise, daß\ diese Packung wirklich die dünnste ist, ist den Verf. nicht gelungen. Die dünnste Kreispackung der Ebene läßt sich dagegen aus den vorliegenden Untersuchungen leicht bestimmen.