Una interessante famiglia die curve razionali. (Q559906)

Auf Grund der von \textit{Campedelli} bewiesenen Winkeleigenschaft einer speziellen \textit{Pascal}schen Schnecke (s. vorstehendes Referat) wird diese hier definiert als Ort der Ecke \(A\), eines Dreiecks über gegebener Seite \(BC\), so daß\ die beweglichen Seiten mit der festen Seite Winkel bilden, die sich wie 2:3 verhalten, oder als Schnitt zweier Strahlen, die mit Winkelgeschwindigkeiten gleichen Verhältnisses um \(B\) und \(C\) gleichsinnig rotieren. Projektiv-geometrische Überlegungen führen zur Gleichung der Kurve in der Form \[ \Big ( \frac {x+iy-1}{x-iy-1}\Big ) ^2=\Big ( \frac {x+iy}{x-iy}\Big ) ^3, \] die mit der reellen \[ (x^2+y^2-2x)^2-(x^2+y^2)=0 \] identisch ist. Durch eine geeignete projektive Transformation läßt sich diese Gleichung in \[ \Big ( \frac {y}{y-1}\Big ) ^2=\Big ( \frac {x}{x-1}\Big ) ^3 \] überführen, und durch eine weitere in \[ y^2=x^3. \] ``Die interessante Familie rationaler Kurven'' entsteht nun dadurch, daß\^^Mdas ursprüngliche Verhältnis 2:3 ersetzt wird durch ein beliebiges rationales Verhältnis \(m:n\). Die Gleichungen dieser Kurven, deren projektive Eigenschaften kurz angedeutet werden, entstehen in gleicher Weise (Ersatz von 2:3 durch \(m:n\)) aus den angegebenen.