Nuovi contributi alla teoria delle serie di equivalenza sulle superficie e dei sistemi di equivalenza sulle varietà algebriche. (Q559925)

Einleitend bespricht Verf. vier Typen von Äquivalenzscharen \(\sigma \) auf einer algebraischen Fläche \(F\): (a) zwei Gruppen von \(\sigma \) bestimmen stets eine in \(\sigma \) liegende \(g_n^1\) auf einer Kurve von \(F\); (b) zwei Gruppen von \(\sigma \) gehören stets einer in \(\sigma \) liegenden rationalen Involution von \(F\) an; (c) \(\sigma \) ist die vollständige Schnittschar zweier linearer Kurvensysteme \(| \mathfrak C| \) und \(| \mathfrak D| \); \(\sigma \) braucht nicht aus charakteristischen Scharen eines Linearsystems zu bestehen, wofür Verf. Beispiele gibt; (d) \(\sigma \) ist eine partielle Schnittschar zweier Linearsysteme, wenn durch Hinzunahme von Gruppen einer auf einer Kurve wariierenden Äquivalenzschar die vollständige Schnittschar der Linearsysteme entsteht. Diese Beispiele führen zur Formulierung des Äquivalenzbegriffes: Zwei Punktgruppen heißen äquivalent, wenn sie, von geme\-insamen Punkten abgesehen, charakteristische Gruppen eines Kurvennetzes sind oder durch Hinzunahme zweier auf einer Kurve äquivalenter Gruppen zu solchen charakteristischen Gruppen werden; braucht man keine gemeinsamen Punkte beiseite zu lassen, so hat man eine enge Äquivalenz. Beide Begriffe sind birational invariant. Nun wird der fundamentalsatz bewiesen, demzufolge jede flächenhafte, rationale, zweidimensionale Schar von Punktgruppen in einer Äquivalenzschar gleicher Ordnung von Typus (d) enthalten ist, also ihre Gruppen in enger Äquivalenz stehen. Man nennt daher die vollständigen rationalen und unirationalen Scharen, die ja stets einen irreduziblen Bestandteil einer Äquivalenzschar bilden, Hauptscha\-ren. Enge Äquivalenz ist tranzitiv, daher läßt sich für die Äquivalenzscharen Summe und Differenz erklären. Nennt man zwei Punktgruppen, die durch Hinzunahme einer festen Gruppe auf einer Kurve äquivalent werden, monoäquivalent, so ist auch dieser Begriff transitiv, und jede Gruppe definiert eindeutig eine vollstän\-dige Monoäquivalenzschar; jede Äquivalenzschar ist auch Monoäquivalenzschar. Diese Begriffe können auf eine beliebige algebraische Mannigfaltigkeit \(V_r\) übertragen werden; der Hauptsatz für diese lautet: Ein \(l\)-dimensionales raionales System von \(M_{r-1} (2\leqq l\leqq r)\), das \(V_r\) ausfüllt, ist stets ganz in einem partiellen Schnittsystem von \(l\) Linearsystemen enthalten, die aus \(M_{r-1}\) auf \(V_r\) bestehen. Damit lassen sich, analog wie oben, die Äquivalenz zweier \(V_k\) auf \(V_r\) und die zugehörigen Operationen erklären. Ein Äquivalenzsystem von \(V_k\) schneidet auf jeder \(V_s\) \((r-k\leqq s\leqq r-1)\) von \(V_r\) ein Äquivalenzsystem aus; daher schneiden die Raumkurven \(n\)-ter Ordnung auf \(F\) äquivalente Gruppen aus. Jede irreduzible Familie von \(M_{r-l}\) im \(R_r\) schneidet auf einer \(V_{l'}\) \((l'\geqq l)\) eine Äquivalenzschar aus, und daher ist eine \(\varrho (\geqq 3)\)-dimensionale, rationale, flächenhafte Schar von Punktgruppen auf \(F\) stets Differenz zweier partieller Schnittscharen oder selbst eine solche. Da bei einer nichtausartenden Korrespondenz \(T(\alpha,\beta )\) zwischen zwei Flächen \(F\) und \(F'\) äquivalente Gruppen wieder in solche übergehen, eignen sich die neuen Begriffe zum Studium der Korrespondenzen. Entsprechen den Punkten \(x\) von \(F\) auf \(F'\) Gruppen \(Y\), deren \(k\)-fache äquivalent sind, so heißt \(T\) von der Valenz Null; \(T^{-1}\) hat dann auch die Valenz Null. Eine Korrespondenz zwischen zwei zusammenfallenden Flächen hat die Valenz \(\gamma \), wenn \(k(\gamma x+Y)\) bei variablem \(x\) eine Äquivalenzschar beschreibt. \(T^{-1}\) hat die gleiche Valenz; aus einfachen Korrespondenz lassen sich solche beliebiger positiver oder negativer Valenz aufbauen. Ein Spezialfall (\textit{Zeuthen}sche Korrespondenz) liegt vor, wenn \(Y\) von einer Raumkurve bestimmter Ordnung ausgeschnitten wird, die in \(x\) mit \(F\) die Schnittzahl \(\gamma \) hat. Für diese läßt sich ein Korrespondenzprinzip entwickeln (vgl. \textit{Severi}, 1933; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 631-632). Schließlich behandelt Verf. die topologischen Grundlagen des Äquivalenzbegriffes. Betrachtet man neben \(F\) die Mannigfaltigkeit \(V\), deren Punkte den Gruppen der Schar eineindeutig entsprechen, so sind drei Schartypen wichtig: (1) Wenn jedem Linearzykel von \(V\) ein linearer Nullzykel auf \(F\) entspricht, hat man eine Schar der Linearzirkulation Null. (2) Wenn jeder zweidimensionale Zykel von \(V\) in einen algebraischen Zykel von \(F\) übergeht, hat man eine Schar mit algebraischer Flächenzirkulation; dazu gehören z. B. die vollständigen Schnittscharen. (3) Wenn jedem zweidimensionalen Nullteiler von \(V\) ein Nullzykel von \(F\) entspricht, ist die Schar von der Zyklotorsion Null. Jede Äquivalenzzschar der Typen a, b, c, d gehört den drei Typen (1), (2), (3) an. Notwendig und hinreichend dafür, daß\ eine Schar vom Typus (2) sei, ist, daß\ die quadratischen Diffenrentialformen erster Gattung von \(F\) in jeder Gruppe die Summe Null ergeben. Soll die aus den Gruppen von je \(n\) Punkten auf \(F\) gebildete Schar allen drei Typen (1)-(3) angehören, so muß\ auf \(F\) \(p_a=p_q=0\) und die Torsion Null sein. Jede Korrespondenz \(T\) führt eine Schar vom Typus (1)-(3) in eine des gleichen Typus über, so daß\ sich die Valenz von \(T\) bezüglich einer solchen Schar definieren läßt; sie ist gleich der Valenz von \(T^{-1}\).