Bisecant curves of ruled surfaces. (Q559959)

Verf. betrachtet eigentliche Bisekantenkurven \(C_{\pi }^{\nu }\), die keinen Doppelpunkt besitzen, der als Schnittpunkt mit einer Erzeugenden der Regelfläche \(R_P^N\) doppelt zählt. Außerdem sind die Kurven und Flächen normal und von der Spezialität Null. Eine solche \(C_{\pi }^{\nu }\) auf einer \(R_P^N\) kann als Schnitt mit einer Hyperfläche zweiter Ordnung erhalten werden, wenn \(\nu \leqq 2N-4P\) ist, d. h. \(\nu \geqq 2\pi +2\). Die Kurven niedrigster Ordnung sind \(C_P^{N-P+1}\). Die Schar \(2n\)-ter Ordnung, die von Hyperquadriken auf einer normalen, nicht spezialen \(C_p^n\) des Raumes \([n-p]\) ausgeschnitten wird, hat die Dimension \(2n-p-q\), wobei \(q\) die Quadrispezialität genannt wird. Für eine hyperelliptische \(C_p^n\) mit \(n\geqq p+3\) gilt nun folgendes: Ist \(n\geqq 2p+2\), so ist die \(C_p^n\) nicht quadrispezial und der Schnitt einer rationalen Regelfläche mit einer Hyperquadrik. Ist \(n=2p+2-h\) \((h>0)\), so liegt die \(C_p^n\) auf \(\infty ^{\frac 12(n-p)(n-p-3)}\) Hyperquadriken, die alle eine rationale Regelfläche \((n-p-1)\)-ter Ordnung enthalten, und die Quadrispezialität der \(C_p^n\) ist \(h-1\).