Un problème de géométrie infinitésimale. (Q560079)

\textit{R. Bricard} hat gelegentlich folgendes Problem formuliert: Ein Flugzeug überfliegt in konstanter Höhe einen sphärisch angenommenen Bereich der Erde; welches ist die größte Strecke im Bereich des sphärischen Flächenstückes, die bei diesem Flug photographiert werden kann? Mit der Beantwortung dieser Frage hat sich Verf. schon bei früherer Gelegenheit beschäftigt (Un problème de géométrie infinitésimale,Mémoires Acad. Bruxelles \(8^{\circ }\) 12 (1932), Nr. 4; F. d. M. 58). Die weitere vorliegende Untersuchung verwendet die äquivalente Formulierung: Welches ist die Länge der kürzesten Kurve in einem Gebiet \(D\) der Einheitskugel von der Beschaffenheit, daß\ jeder Punkt aus \(D\) von dieser Kurve höchstens um den festen Betrag \(\alpha \leqq \dfrac {\pi }{2}\) entfernt liegt? Zur genaueren Untersuchung unterscheidet Verf. im Gebiet \(D\) (vom Inhalt \(\varDelta \)) \textit{Jordan}kurven \(\mathfrak L\), Kurven \(T\) mit Tangenten in jedem Punkte, abgesehen von eventuellen Extremalstellen, Kurven \(C\) von beschränkter Krümmung, Kurven \(E\) mit ``Spannweite'' (empan), auf welchen die sphärische Distanz beliebiger Punktepaare über einer festen Schranke (z. B. \(2\gamma \)) liegt. Die genauere Untersuchung behandelt nun das Verhalten aller dieser Kurvengattungen zum \textit{Bricard}schen Problem zum Teil durch eine gewisse Umkehrung der Fragestellung, wodurch bei vorgegebenen Kurven gewisse Abschätzungen für die Inhalte \(\varDelta \) des Gebietes \(D\) gewonnen werden, z. B: \[ \varDelta \leqq 2L\sin \alpha +2\pi (1-\cos \alpha ), \] für eine offene Kurve \(\mathfrak L\) der Länge \(L\) und \[ \varDelta \leqq 2L\sin \alpha \] für eine geschlossene Kurve \(\mathfrak L\) der Länge \(L\).