Observations sur le mémoire précédent. (Extrtait d'une lettre à M. D. D. Kosambi). (Q560095)

Das geometrische Objekt dieser brieflichen Notiz ist wie in der vorstehend besprochenen Note von \textit{D. D. Kosambi} das Differentialsystem \[ \ddot x^i+\alpha ^i(x,\dot x,t)=0 \] (\(t\) als Zeitparameter gedeutet). Die Problemstellung formuliert Verf. auf zwei verschiedene Weisen: {\parindent=8mm \begin{itemize}\item[(A)]Es sind alle geometrischen Eigenschaften des angeführten Systems anzuge\-ben, welche ``intrinseken'' Charakter gegenüber der unendlichen Transfor\-mationsgruppe \[ (x^i)'=F^i(x) \quad (t'=t) \] besitzen. \item[(B)]Dieselbe Aufgabe ist gegenüber der unendlichen Transformationsgruppe \[ (x^i)'=F^i(x,t) \qquad (t'=t) \] zu lösen. \end{itemize}} Zur allgemeinen Lösung schlägt Verf. vor \(x^i,\dot x^i,t\) als Koordinaten eines \((2n+1)\)-dimensionalen Raumes aufzufassen, in welchem das kovariante Differential eines Vektors \(X^i\) durch \[ DX^i=dX^i+\left [ \gamma _k^idt+\gamma _{kh}^i(dx^h-\dot x^hdt)\right ] X^k \] gegeben wird. Diese Art Ableitung wird auf die Vektoren \[ \omega _d^i=dx^i-\dot x^idt, \quad \tilde \omega _d^i=d\dot x^i+\alpha ^idt+\gamma _h^i(dx^h-\dot x^hdt) \] angewendet (\(\tilde \omega _d^i=0, \omega _d^i=0\) entspricht dem ursprünglich gegebenen System). Die Koeffizienten der ``Kommutatoren'' \(D\omega _d^i-\varDelta \omega _d^i\) und \(D\tilde \omega _d^i-\varDelta \tilde \omega _d^i\) liefern die gesuchten Krümmungs- und Torsionsgrößen der in Rede stehenden Bahnkurvengeometrie. Die von \textit{D. D. Kosambi} gewonnenen Ergebnisse ordnen sich im wesentlichen dem hier mit (A) bezeichneten Spezialfall unter.