Le mouvement gyroscopique des projectiles stables. (Q560390)

Es bezeichnen \(G\) den Schwerpunkt des Geschosses, \(\delta \) den Winkel zwischen Geschoßachse \(Gz\) und Flugbahntangente \(Gz_1\), \(\tau \) die Tangentenneigung, \(p,q,\varrho \) die Komponenten der Drehgeschwindigkeit des Geschosses, \(p,q,r\) die Komponenten der Drehgeschwindigkeit des Dreikants \(Gxyz_1\) (bezogen auf \(Gxyz\)), und es werden folgende Voraussetzungen gemacht: (1) \(\delta \) sei klein. (2) \(\mathfrak A \frac {d\varrho }{dt}\) (\(\mathfrak A\) = Trägheitsmoment in bezug auf die Längsachse) sei zu vernachlässigen. (3) Das Minimum der Geschwindigkeit bleibe oberhalb gewisser Grenzen. Dann kann man den \textit{Magnus}effekt vernachlässigen und den Vektor der Rotationsgeschwindigkeit \(\Omega = \varrho \) setzen. Es wird nun auf der Bahntangente ein Punkt \(O\) im Abstand 1 vom Schwerpunkt aus angenommen und durch diesen Punkt eine Ebene senkrecht zur Bahntangente gelegt, in welcher der Punkt \(a\) mit den Koordinaten \(\delta _1\) und \(\delta _2\) die Spur der Geschoßspitze bezeichnet; man hat also \(Oa = \text{tg}\,\delta \sim \delta \); nach den Untersuchungen von \textit{d'Esclangon} und \textit{Sugot} findet man folgende Gleichungen zur Berechnung von \(\delta \): \[ (ES) \qquad \frac {d\delta _1}{dt} = A(\delta _1 - \Delta _1) - P(\delta _2-\Delta _2), \;\frac {d\delta _2}{dt} = P(\delta _1 - \Delta _1) + A(\delta _2 - \Delta _2), \] wobei der Winkel \(\eta \) der wirklichen Flugbahn mit der Ausgangs-Schußebene berücksichtigt ist. Vernachlässigt man diesen Winkel, so erhält man die Näherungsgleichungen: \[ (ES)_a \qquad \qquad \frac {d\delta _1}{dt} = A\delta _1 - P \delta _2, \^^M\frac {d\delta _2}{dt} = P\delta _1 + A \delta _2 + \Big |\frac {d\tau }{dt}\Big |. \qquad \qquad \qquad \] Hierin ist \(P =\frac {R/\sin \gamma }{\mathfrak A \Omega }\), \(\gamma = k\delta \) der Winkel des Luftwiderstandes mit der Geschoßachse, \(R\) die Verzögerung durch den Luftwiderstand und der sonst vernachlässigte Faktor \(A\) für den \textit{Esclangon}-Effekt (Berücksichtigung der Querkomponente der Luftreibung) immer negativ. Setzt man \(z=\delta _1 + i\delta _2\), so läßt sich nach einigen Umformungen das Gleichungspaar \((ES)_a\) durch eine Gleichung ersetzen: \(\frac {dz}{dt} = (A-iP) z + \frac {d\tau }{dt}\); ist \(\zeta \) ein partikuläres Integral dieser Gleichung, dann gilt \[ |z-\zeta | = |z_0 - \zeta _0| \text{exp}\,\int ^t_0 A dt, \] woraus folgt, daß\ \(A\), da es immer \(<0\) ist, einen Dämpfungsfaktor vorstellt. Der Punkt \(D=(\Delta _1 + i\Delta _2)\) ist das ``augenblickliche Präzessionszentrum'', der Punkt \[ \Gamma = (\Delta _1 + i \Delta _2) + z \] das ``augenblickliche Bezugszentrum'', und es läßt sich zeigen, daß\ bei den genannten Voraussetzungen das Korrektionsglied \(z\) immer sehr klein bleibt. - Zum Schluß\ werden nochmal die ganz allgemeinen Gleichungen für \(p,q,\varrho,r\) und ihre ersten Ableitungen nach der Zeit aufgestellt und die gemachten Vereinfachungen gerechtfertigt.