Über einige Beziehungen zwischen klassischer Statistik und Quantenmechanik. (Q560975)

Die \textit{Smoluchowski}sche Differentialgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte \(u\) bei \textit{Brown}scher Diffusion \[ \frac {\partial u}{\partial t} = D \cdot \bigtriangleup u - div (u \mathfrak v) \] (\(D\) = Diffusionskonstante) läßt sich nach \textit{Fokker, Planck} und \textit{Schrödinger} verallgemeinern auf den fall der \textit{Brown}schen Bewegung eines beliebigen mechanischen Systems und lautet \[ \frac {\partial u}{\partial t} = Fu, \tag{1} \] wo \(F\) ein bestimmter Differentialoperator ist. Zwischen dieser Gleichung und der zeitabhängigen \textit{Schrödinger}leichung \[ - \frac {h}{2\pi i} \frac {\partial \psi }{\partial t} = H\psi \tag{2} \] bestehteine analogie, welche Verf. untersucht und abgranzt. Es sind im Wesentlichen zwei Unterschiede: der Faktor \(i\) in (2) (imaginärer diffusionskoeffizient) und die Interpretation als Wahrscheinlichkeitsdichte \[ u \quad \text{bzw.} \quad \bar {\psi } \psi .\tag{3} \] Am deutlichsten wird die Analogie der durch (1) und (2) dargestellten ``Diffusionsvorgänge'' an Hand der Ungenauigkeitsrelation, die in der Quantenmechanik \[ \bigtriangleup x \cdot \bigtriangleup p \geq \frac {h}{4\pi }\tag{4} \] lautet. Um das Analogon zu (4) für den Fall der klassischen Diffusion zu erhalten, definiert Verf. zunächst für den fall der klassischeb Diffusion eine Geschwindigkeit in geeigneter Weise. Und zwar wählt er dazu aus bestimmten Gründen nicht die mikroskopische Molekülgeschwindigkeit, sondern die aus dem ``Diffusionsstrom'' sich ergebende Diffusionsgeschwindigkeit \(v = \frac {\mathrm Diffusionsstrom}{\mathrm Dichte}.\) Dafür besteht aber bei einem diffusionsprozeß die Beziehung \[ \bigtriangleup x \cdot \bigtriangleup v \geq D.\tag{5} \] Im Fall (1) sind \(F\) und \(u\) reell; der Verlauf von \(u\) ist durch die Werte von\(u\) zur Zeit \(t=0\) bestimmt (die Molekülstöße besorgen die Diffusion, man braucht die Anfangsdiffusionsgeschwindigkeit nicht zur Festlegung der Anfangsbedingungen). Im Fall (2) sind \(H\) und \(\psi \) komplex, die Dichte \(|\psi |^2\) genügt nicht als Anfangsbedingung, für \(|\psi |\) besteht keine Differentialgleichung. Erst \(\psi \) zur Zeit \(t=0\) (oder Anfangsdichten und Anfangsgeschwindigkeiten) bestimmt den spätern Verlauf von \(\psi \).