The conservation of probability and energy as criteria for the validity of wave equations. (Q561391)

Verf. stellt an die Wellengleichung zwei Bedingungen, die erfüllt sein sollen. Erstens soll sich aus ihr ein Erhaltungssatz \[ \text{\div } \sigma + \frac {\partial \varrho }{\partial t} = 0 \qquad (\varrho = \psi \psi ^{\ast }) \] ableiten lassen. Zweitens soll noch eine Beziehung \[ \frac {d}{dt}\int \psi \frac {\partial \psi ^{\ast }}{\partial t} d\tau = \frac {2\pi }{ih} \int \psi \left \{\frac {\partial }{\partial t} H \left (q, \frac {h}{2\pi i} \frac {\partial }{\partial q}, t\right ) \right \} \psi ^{\ast } d\tau, \] äquivalent der invarianten Beziehung \[ \frac {d}{dt} \Phi H \Psi = \Phi \frac {\partial H}{\partial t} \Psi, \] bestehen, welch letztere in einer \textit{Heisenberg}-Darstellung leicht verifizierbar ist. Voraussetzung dafür ist \[ \frac {ih}{2\pi }\left (\xi - \frac {\partial \xi }{\partial t}\right ) = \xi H - H\xi \] und die Wellengleichung \[ \frac {ih}{2\pi } \frac {\partial \psi ^{\ast }}{\partial t} = H \left ( q, -\frac {ih}{2\pi } \frac {\partial }{\partial q}, t\right ) \psi ^ *. \] Verf. verifiziert die Erfülltheit der beiden Bedingungen für die Fälle der gewöhnlichen \textit{Schrödinger}-Gleichung und der \textit{Dirac}-Gleichung. Die zweite Bedingung ist aber nicht im Fall der relativistischen Wellengleichung zweiter Ordnung erfüllt.