Sur la densité de l'énergie dans la théorie de la lumiére. (Q561425)

Verf. nimmt als Wellengleichung für das Photon \[ \frac {1}{c} \frac {\partial \psi }{\partial t} = \left (\frac {\partial }{\partial x} \alpha _1 + \frac {\partial }{\partial y} \alpha _2 + \frac {\partial }{\partial z} \alpha _3\right ) \psi + \kappa a \alpha _4 \psi. \] Die \(\alpha _1\) sind \textit{Dirac}sche Matrizen, und \(\kappa\) ist \(\frac {h}{2\pi i}\). Mit \(\sqrt {\bigtriangleup } = \frac {\partial }{\partial x} \alpha _1 + \frac {\partial }{\partial y} \alpha _2 + \frac {\partial }{\partial z} \alpha _3\) schreibt Verf. dafür auch: \[ \frac {1}{c} \frac {\partial \psi }{\partial t} = \sqrt {\bigtriangleup } \psi + \kappa a \alpha _4 \psi = \frac {\kappa }{c} H \psi.\tag{1} \] Den klassischen Potentialen läßt Verf. die Operatoren \[ A_i = - K \alpha _i\;(i = 1, 2, 3),\;V = K \cdot 1 \] entsprechen (\(K\) = numerische Konstante). Die Spinoperatoren werden durch \[ \sigma _1 = i \alpha _2 \alpha _3,\;\sigma _2 = i \alpha _3 \alpha _1,\^^M\sigma _3 = i \alpha _1 \alpha _2,\;\sigma _4 = i \alpha _1 \alpha _2 \alpha _3 \] definiert. Für die durch \[ \mathfrak H = K(-\operatorname {grad} \sigma _4 - \sigma \sqrt {\bigtriangleup }), \quad \mathfrak E = K\frac {1}{i}\text{rot\,}\sigma \] definierten elektrischen und magnetischen Vektoren findet man, falls die Wellengleichung sich auf \[ \frac 1c \frac {\partial \psi }{\partial t} = \sqrt {\bigtriangleup }\psi \tag{2} \] reduziert, ein \textit{Maxwell}sches Gleichungssystem: \[ \div \mathfrak E \psi = 0,\quad \Big (\frac 1c\frac {\partial \mathfrak E}{\partial t}-\text{rot\,}\mathfrak H\Big ) \psi = 0, \quad \div \mathfrak H\psi = 0,\quad \left (\frac 1c \frac {\partial \mathfrak H}{\partial t} +\text{rot\,} \mathfrak E \right ) \psi = 0. \] Als mittlere Energiedichte ergibt sich für eine monochromatische ebene Welle: \[ \psi ^{\ast } H \psi = h\nu \;\psi ^{\ast } H\psi. \] Hat man statt der Gleichung (2) die Gleichung (1) und wählt man \(K^2 = - \frac {c}{4a\kappa ^2}\), so findet Verf. in erster Näherung \(H\sim ac + \frac 12 (\mathfrak E^2 + \mathfrak H^2).\)