Zur Deutung der intuitionistischen Logik. (Q562824)

Deutungen des intuitionistischen Aussagenkalküls im Rahmen der klassischen Logik sind schon mehrfach behandelt worden. Verf. gibt hier eine Deutung auf der Grundlage einer Aufgabenrechnung. Die Begriffe der Aufgabe und der Lösung einer Aufgabe werden an Hand von Beispielen näher erläutert. Es werden dann die folgenden Festsetzungen getroffen: Sind \(a\) und \(b\) Aufgaben, so bezeichne \(a \land b\) die Aufgabe, beide Aufgaben \(a\) und \(b\) zu lösen, \(a \lor b\) die Aufgabe, mindestens eine der Aufgaben \(a, b\) zu lösen, \(a \supset b\) die Aufgabe, die Lösung von \(b\) auf die Lösung von \(a\) zurückzuführen, und \(\neg a\) die Aufgabe, vorausgesetzt, daß die Lösung von \(a\) gegeben ist, einen Widerspruch zu erhalten. Ist \(p(a, b, c,\ldots )\) eine mit Hilfe der Zeichen \(\land,\lor,\supset \) und \(\neg \) zusammengesetzte Funktion der Aufgabenvariablen \(a, b, c, \ldots \), so bezeichne \(\vdash p(a, b, c,\ldots )\) die Aufgabe, eine allgemeine Methode anzugeben für die Lösung von \(p(a, b, c,\ldots )\) bei jeder einzelnen Auswahl der Aufgaben \(a, b, c,\ldots \). Die Postulate sind anzusehen Als Aufgaben, deren Lösungen schon bekannt sind. Verf. weist nun nach, daß diese Aufgabenrechnung mit dem \textit{Heyting}schen Kalkül identisch ist. Insbesondere kann der Satz vom ausgeschlossenen Dritten \(\vdash \cdot \;a \lor \neg a\) nicht als Postulat angesehen werden; er würde bedeuten, wenn z. B. die Aufgabe \(a\) im Beweis einer Aussage besteht, daß man im Besitze einer allgemeingültigen Methode sei, jede Aussage entweder zu beweisen oder zum Widerspruch zu führen. Im Schlußabschnitt vertritt Verf. die Ansicht, daß die intuitionistische Logik durch die Aufgabenrechnung ersetzt werden sollte, ``denn ihre Objekte sind in Wirklichkeit keine theoretischen Aussagen, sondern vielmehr Aufgaben''.