Sulle definizioni di lunghezza e di area. (Q562960)

Verf. gibt eine Modifikation der bekannten \textit{Minkowski}schen. Definitionen der Länge eines ebenen Kurvenbogens und des Flächeninhaltes einer Rotationsfläche, so daß sie für eine elementare Darstellung verwertbar sind. Es sei z. B. \(AB\) ein (regulärer) Bogen einer ebenen Kurve; auf der Normalen jedes Punktes \(P\) von \(AB\) nehme man von \(P\) aus nach beiden Richtungen ein Intervall gleicher Länge \(h,\;PN_1, PN_2\); die Parallelen durch \(N_1,\;N_2\) zu der Tangente in \(P\) mögen in \(P_1\) bzw. \(P_2\) die Gerade treffen, die durch \(P\) parallel zu einer festen, willkürlich gewählten Richtung \((d)\) gezogen sei. Wenn \(P\) auf \(AB\) wandert, so beschreibt die Strecke \(P_1,\;P_2\) ``einen Streifen von der Breite \(2h\) relativ zu \(AB\)''. Wenn \(S(h)\) der Flächeninhalt dieses Streifens ist, so ergibt sich leicht, daß das Verhältnis \(\frac {S(h)}{2h}\) unabhängig von \(h\) ist; Verf. schlägt vor, dieses Verhältnis (oder, was dasselbe ist, den Grenzwert für \(h\rightarrow 0\)) als Definition der Länge des Bogens \(AB\) zu wählen. Natürlich müßte bewiesen werden, daß die so definierte Länge unabhängig von der Wahl der festen Richtung \((d)\) ist, aber Verf. ist der Ansicht, daß dieser Punkt in einer elementaren Behandlung ohne Beweis hingenommen werden könne. Eine analoge Definition schlägt er für den Flächeninhalt einer Rotationsfläche vor; nur angedeutet wird eine vom gleichen Gesichtspunkt aus gewonnene Definition für den Inhalt einer beliebigen krummen Fläche. (IV 3 B.)