Sur quelques propositions équivalentes à l'hypothèse du continu. (Q563032)

Verf. beweisen, daß jede der folgenden drei Aussagen (\(P\)), (\(Q\)), (\(R\)) mit der Kontinuumhypothese äquivalent ist. (\(P\)): Es existiert eine aus unendlichen Folgen reeller Zahlen bestehende Familie \(F\) von der Mächtigkeit des Kontinuums mit der folgenden Eigenschaft: Ist eine beliebige unendliche Folge reeller Zahlen \((x_1, x_2, x_3,\ldots )\) gegeben, dann ist die Menge aller Folgen \((y_1, y_2, y_3,\ldots )\) der Familie \(F\), für welche \(x_i \neq y_i\) für \(i = l, 2, 3,\ldots,\) höchstens abzählbar. (\(Q\)): \(I\) bezeichne das Intervall \(<0,1>\) und \(X\) die Menge aller reellen Zahlen. Es existiert ein System von Mengen \(A^i_x\), wobei \(i\) eine natürliche Zahl und \(x\) eine reelle Zahl ist, derart daß \[ \begin{matrix} &1. &I=\sum \limits _{x\in X} A^i_x \quad \text{ für }\quad i = 1, 2, 3,\ldots,\\ &2. &A^i_x A^i_y = 0 \quad \text{ für }\quad x\neq y,\;i = 1, 2, 3,\ldots,\\ &3.&\text{für jede unendliche Folge \(x_1, x_2, x_3,\ldots \) reeller Zahlen die Menge}\\ & &I-(A_{x_1}^1 + A_{x_2}^2 + A_{x_3}^3 + \cdots )\\ \end{matrix} \] höchstens abzählbar ist. (\(R\)): Es existiert eine unendliche Folge von eindeutigen, für \(0\leqq x \leqq 1\) definierten Funktionen \(f_n(x)(n = 1, 2, 3,\ldots )\) derart, daß jede beliebige nicht-abzählbare Menge \(N\) von Zahlen des Intervalls \((0,1)\) durch mindestens eine dieser Funktionen in die Menge aller reellen Zahlen transformiert wird. Verf. geben noch drei analoge Aussagen an, die für irgendeine Kardinalzahl \(\mathfrak {m}\geqq \aleph _0\) der folgenden Verallgemeinerung der Kontinuumhypothese äquivalent sind: Es existiert keine Kardinalzahl \(\mathfrak {n}\), so daß \(\mathfrak {m} < \mathfrak {n} < 2^\mathfrak {m}\) ist. Übrigens hat inzwischen \textit{Sierpiński} (Bulletin Acad. Royale Serbe 1 (1933), 67-74; Fundamenta 20 (1933), 163-165, F. d. M. \(59_{\text{II}}\), 886; \(59_{\text{I}}\), 94) die Aussagen (\(Q\)) und (\(R\)) noch modifiziert und verschärft (insbesondere (\(R\)) dahin, daß nicht eine, sondern fast alle diese Funktionen das Gewünschte leisten).