Sur deux propriétés des ensembles mesurables B. (Q563040)

Die \textit{Borel}schen Mengen werden vom Verf. - anknüpfend an die Bezeichnungsweise von \textit{Hausdorff} - folgendermaßen verallgemeinert: \(K\) sei eine Menge von beliebigen Elementen und \(\varPhi \) eine gegebene Familie von Teilmengen von \(K\). Die Mengen von \(\varPhi \) werden als Mengen \(P^1\), ihre Komplementärmengen bezüglich \(K\) als Mengen \(Q^1\) bezeichnet. Die \(P^\alpha \) seien die Mengen der Form \(E_1 + E_2 + E_3 + \cdots \), wobei die \(E_n\) Mengen \(Q^{\xi _n}\) mit \(\xi _n < \alpha \) sind, und die \(Q^\alpha \) seien die Mengen der Form \(E_1 \cdot E_2 \cdot E_3 \cdot \cdots \), wobei die \(E_n\) Mengen \(P^{\eta _n}\) mit \(\eta _n < \alpha \) sind. Verf. beweist nun die folgenden (zu \textit{Lusin}schen Trennungssätzen analogen) Sätze: 1) Sind \(E\) und \(H\) zwei fremde Mengen \(Q^\alpha \) (mit \(1 < \alpha < \varOmega \) ), so existieren zwei fremde Mengen \(M\) und \(N\), die zugleich \(P^\alpha \) und \(Q^\alpha \) sind, derart, daß \(E\subset M\) und \(H\subset N\) gilt. (Verallgemeinerung eines früheren Satzes des Verf.; s. Fundamenta 6 (1924), 1-5 (F. d. M. 50. 141-142). insbes. S. 2.) 2) Sind \(E\) und \(H\) zwei Mengen \(Q^\alpha \) (mit \(1 < \alpha < \varOmega \)), so existieren zwei fremde \(P^\alpha \)-Mengen \(M\) und \(N\), derart daß \(E-H \subset M\) und \(H - E \subset N\) gilt. Für ebene Mengen folgt aus 1) und 2) noch der Satz : 3) Zu jeder Ordinalzahl \(\alpha < \varOmega \) gibt es zwei fremde \(P^\alpha \)-Mengen \(E\) und \(H\), derart daß keine zwei fremden \(Q^\alpha \)-Mengen \(M\) und \(N\) existieren, so daß \(E\subset M\) und \(H\subset N\) gilt.