Note on an application of metric geometry to determinants (Q563131)

In einer früheren Note (1931; JFM 57.0112.*-113) hat Verf. unter anderm den folgenden Satz bewiesen: Wenn die symmetrische Determinante \[ D=\left |\begin{matrix} 0&1&1&1&1\\ 1&0 &r_{12} &r_{13}&r_{14}\\ 1&r_{21} & 0 &r_{23}&r_{24}\\ 1&r_{31} & r_{32}&0 &r_{34}\\ 1&r_{41} & r_{42} &r_{43}&0\\ \end{matrix} \right |\quad (r_{ik} = r_{ki}) \] mit positiven \(r_{ik}\) \((i\neq k; i, k = 1, 2, 3, 4)\) von Null verschieden ist, und wenn vier von den fünf Hauptminoren vierter Ordnung gleich Null sind, dann ist der fünfte von Null verschieden. Die fünf Hauptminoren werden der Reihe nach mit \(H_1,\ldots,H_5\) bezeichnet. Dann ist \(H_1\) ``ungerändert'', d. h. \(H_1\) besteht nur aus den Elementen \(r_{ik}\) und den Nullen in der Hauptdiagonale; \(H_2, H_3, H_4, H_5\) sind ``gerändert''. Verf. hat nun zunächst (Fall (A)) bewiesen: Aus \(H_2 = H_3 = H_4 = H_5 = 0\) folgt \(H_1 \neq 0\). Was den Fall (B): \(H_1 = H_2 = H_3 = H_4 = 0\) (auf die Auswahl der drei geränderten Minoren kommt es hier offenbar nicht an) betrifft, so ist Verf. zu dem Ergebnis gekommen, daß er (in Verbindung mit der Voraussetzung \(D \neq 0\)) nicht existieren könne. Der behauptete Satz wäre somit durch (A) allein bereits bewiesen. Verf. ist nun durch \textit{W. V. Parker} darauf aufmerksam gemacht worden, daß sein die Nichtexistenz von (B) betreffendes Ergebnis falsch ist. Er gibt daher in der vorliegenden Note einen indirekten Beweis für (B), indem er zeigt, daß die Annahme \(H_5 = 0\) in Verbindung mit \(H_1 = H_2 = H_3 = H_4 =0\) den Widerspruch \(D = 0\) ergibt; warum Verf. aber hier nicht einfach aus \(H_5 = 0\) in Verbindung mit \(H_2 = H_3 = H_4 = 0\) nach (A) auf den Widerspruch \(H_1\neq 0\) schließt, ist dem Ref. unverständlich. Da dem Verf. femer an der Nichtexistenz des Falles (B) gelegen ist, aus der er in der früheren Note weitere Folgerungen gezogen hat, so gibt er in dieser Note gewisse Zusatzbedingungen für die Elemente \(r_{ik}\) an, die für die Nichtexistenz von (B) hinreichend sind.