An introduction to the theory of canonical matrices (Q563152)

Im Vorwort bezeichnen es die Verf. als ihr Ziel, einen Bericht über die verschiedenen Normalformen zu geben, auf die man Matrizen durch die Anwendung gewisser Klassen von Transformationen bringen kann. Was der Leser in diesem schönen Buch findet, ist weit mehr; das Eingehen auf die vielen Dinge, die mit den Normalformen zusammenhängen, läßt den Titel des Buches als zu bescheiden erscheinen. Es handelt sich um die klassische Matrizentheorie, in der eine Matrix ein rechteckiges Schema von komplexen Zahlen bedeutet, und zwar um diejenigen Ergebnisse, die in der Richtung der Anwendungen auf Geometrie und Analysis liegen; Fragen arithmetischer Art werden nicht behandelt. Vorausgesetzt werden nur die Elemente der Determinantentheorie. Durch konsequente Benutzung des Matrizenkalküls, insbesondere des Rechnens mit Matrizen von Matrizen, hat die Darstellung eine übersichtliche und knappe Form erhalten. Das Buch ist so angelegt, daß die Hauptsätze ausführlich behandelt, von verschiedenen Gesichtspunkten beleuchtet und an zahlreichen, auch numerischen Beispielen erläutert werden, während das nicht so Grundlegende, auch wenn es sich um viel benutzte Sätze handelt, großenteils in die eingestreuten Aufgaben übernommen wird. Besonders hingewiesen sei noch auf die historischen Bemerkungen, die den Schluß jedes Kapitels bilden. Die folgende Übersicht nennt nur die wichtigsten Gegenstände; um sie gruppiert sich eine Fülle von Ergänzungen, Verallgemeinerungen und Aufgaben. Kap. I entwickelt den Matrizenkalkül. Kap. II führt, um die Fragestellung zu entwickeln, einige geläufige Aufgaben aus der Algebra vor, bei denen man eine vorgelegte Matrix durch gewisse ``elementare'' Abänderungen zu vereinfachen pflegt; erwähnt sei die Einordnung des Euklidischen Algorithmus unter diesen Gesichtspunkt. Hieran schließt sich (Kap. III) die Herleitung der Smith-Kroneckerschen äquivalenten Normalform für Matrizen, deren Elemente Polynome in einer Variablen sind. Einführung der invariant factors (Elementarteiler). Der hier entwickelte allgemeine Äquivalenzbegriff wird in Kap. IV unterteilt in Ähnlichkeit, Kongruenz usw., wobei auf die zugrunde liegenden verschiedenen geometrischen Deutungen der Matrix hingewiesen wird. In Kap. V wird die rationale Normalform einer quadratischen Matrix \(A\) vermittelst Ähnlichkeitstransformationen unter Benutzung der Vektorsprache hergeleitet; als wesentliches Hilfsmittel werden die Polynome in \(A\) benutzt, die einen vorgelegten Vektor annullieren. Das nächste Kapitel bringt drei Herleitungen der Jordanschen Normalform (im folgenden als J. N.-F. abgekürzt): eine aus der rationalen Normalform durch heuristisches Anschreiben der transformierenden Matrix, eine zweite aus der Jacobischen Dreiecksform durch wiederholte Anwendung elementarer Transformationen, eine dritte aus der rationalen Normalform durch Weiterführung der in Kap. V entwickelten geometrischen Deutung. Die Eindeutigkeit der J. N.-F. wird durch Vergleich der elementary divisors (primären Elementarteiler) gesichert. Auch das Analog en der J. N.-F. im reellen Gebiet wird erwähnt. Kap. VII behandelt die rationale Reduktion Hermitescher und verwandter Matrizen, das nächste die Reduktion vermittelst unitärer Matrizen. Im Kap. IX wird eine neue Herleitung der Kroneckerschen Normalform eines singulären Matrizenbüschels gegenüber Äquivalenz gegeben. Die Spezialisierung auf Büschel Hermitescher Formen und verwandte Fragen werden eingehend behandelt. Kap. X ist (neben einem Teil von Kap. V) zahlreichen Anwendungen der J. N.-F. auf Fragen der Matrizentheorie gewidmet. Zum Schluß gibt Kap. XI eine Einführung in die Anwendungen auf Mechanik, Statistik und Theorie der linearen Operatorengleichungen mit konstanten Koeffizienten.