On the rank of the product of certain square matrices (Q563160)

Ist \(A\) eine beliebige \(n\)-reihige Matrix, so bezeichne \(D (\lambda )\) ihre charakteristische Funktion, \(D_1(\lambda ),\ldots,D_s(\lambda )\) ihre Elementarteiler, die von 1 verschieden sind. Verf. bestimmt den Rang der Matrix \[ \varPi (A-\lambda _i E)^{\varkappa _i}, \] worin \(\lambda _i\) alle voneinander verschiedenen charakteristischen Wurzeln von \(A\) durchlaufe möge, und beweist die nachstehenden Sätze: Der Rang der Matrix \(D_\sigma (A)\) ist das Minimum der Rangzahlen aller Matrizen \(f(A)\), wobei \(f(\lambda )\) alle Polynome gleichen oder kiemeren Grades als \(D_\sigma (\lambda )\) durchläuft (\(\sigma = 0, 1, 2,\ldots, s\)). Der Rang \(R_\sigma \) von \(D_\sigma (A)\) ist \[ R_\sigma = \sum _{\tau = 1}^\sigma (n_\tau - n_\sigma ), \] wobei \(n_\sigma \) den Grad des Polynoms \(D_\sigma (\lambda )\) bedeutet.