On the canonical form of a rational integral function of a matrix (Q563166)

Die Note enthält zwei Beiträge zur Theorie der \textit{Jordan}schen Normalform (J. N.-F.). (1) Will man ein Polynom einer einfachen \textit{Jordan}schen Matrix auf seine J. N.-F. transformieren, so wird man auf die Aufgabe geführt, eine Matrix der Gestalt \[ P = \begin{pmatrix} 0 &\cdots &0&\alpha _k & \alpha _{k+1}&\alpha _{k+2}&\cdots \\ 0 &\cdots &0&0&\alpha _k & \alpha _{k+1}&\cdots \\ 0 &\cdots &0&0&0&\alpha _k &\cdots \\ \cdot &&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdots \\ \cdot &&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdots \end{pmatrix} \] mit \(\alpha _k\neq 0\) durch eine Ähnlichkeitstransformation in \[ ZPZ^{-1} = \begin{pmatrix} 0 &\cdots &0&1 & 0&0&\cdots \\ 0 &\cdots &0&0&1 & 0&\cdots \\ 0 &\cdots &0&0&0&1 &\cdots \\ \cdot &&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdots \\ \cdot &&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdots \end{pmatrix} \] überzuführen. Dies wird gewöhnlich schrittweise durch eine Reihe elementarer Transformationen ausgeführt. Dagegen gibt Verf. eine Matrix \(Z\) der verlangten Art in geschlossener Form an. (2) Anschließend an \textit{Weitzenböck}s Behandlung der Gleichung \(X^2 = A\) (s. vorletztes Referat) benutzt Verf. die Tatsache, daß man für ein \(A\) mit bekannter J. N.-F die J. N.-F. jedes Polynoms \(f(A)\) anschreiben kann, um umgekehrt bei bekanntem \(A\) die \textit{Jordan}schen Normalformen aller Lösungen von \(f(X) = A\) zu bestimmen.