Über eine algebraische Aufgabe, welche in der Reduktions- und Transformationstheorie der algebraischen Funktionen auftritt. (Q563251)

Es seien \[ f_\nu (x,h)= 0\text{ und } F_\nu (X,H) = 0 \leqno (1) \] in den Körpern \(K (h)\) bzw. \(K(H)\) irreduzible Gleichungen \(\nu \)-ten Grades mit derselber \textit{Galois}schen Gruppe \(\mathfrak G_\mu \) der Ordnung \(\mu \) und den Wurzeln \(\alpha _1,\ldots,\alpha _\nu \) bzw. \(A_1,\ldots,A_\nu \). Die \(\alpha \) werden in die \(A\) durch die \textit{Tschirnhausen}transformation \[ X=\sum _i A_{p_i}\frac {f_\nu (x)}{(x-\alpha _i)f'_\nu (\alpha _i)}\leqno (2) \] übergeführt; \(\binom {i}{p_i}\) bedeutet eine beliebige Permutation in den Symbolen \(1,\ldots,\nu \). Die Koeffizienten von (2) bestimmen einen Körper \(K(h,H,q)\), der in dem Kompositum von \(K(h,\alpha _1,\ldots,\alpha _\nu )\) und \(K(H,A_1,\ldots, A_\nu )\) enthalten ist. Die Aufgabe besteht darin, alle Körper \(K(h,H,q)\) zu bestimmen, über denen die Gleichungen (1) irreduzibel bleiben und die \textit{Galois}sche Gruppe \(\mathfrak G_\mu \) behalten. Gruppentheoretisch bedeutet das: Es gibt einen Automorphismus von \(\mathfrak G_\mu \), der durch eine Transformation \(P=\binom {i}{p_i}\) vom \(\nu \)-ten Grade erzeugt werden kann: \(\mathfrak G_\mu = P^{-1}\mathfrak G_\mu P\). Diese Automorphismen werden untersucht. Ferner wird die Gruppe der Gleichung für \(q\) bestimmt und der für die Anwendungen wichtige Fall \(f_\nu = F_\nu \) genauer betrachtet.