Über die Invarianten von linearen Gruppen. (Q563271)

Das Hauptziel der Arbeit ist ein Beweis für die Existenz einer endlichen Basis für die Invarianten einer kontinuierlichen Untergruppe der projektiven Gruppe. Zuerst wird der Fall einer eingliedrigen infinitesimalen Gruppe behandelt. Hier läßt sich das Problem auf die entsprechende Frage für die projektiven Semiinvarianten einer Reihe von binären Grundformen zurückführen, und damit ist der Endlichkeitssatz für diesen Fall gesichert. Danach wird eine \(r\)-gliedrige Gruppe betrachtet, die eine \((r - 1)\)-gliedrige invariante Untergruppe besitzt, für die der Satz als richtig angenommen wird, und der Beweis für die volle Gruppe geführt. Durch diese Betrachtungen wird der Fall einer auflösbaren Gruppe erledigt und der allgemeine Fall auf den einer Gruppe \(\mathfrak G\) zurückgeführt, die mit ihrer Ableitung \(\mathfrak G'\) zusammenfällt. Die Gruppe \(\mathfrak G\) enthält eine maximale auflösbare invariante Untergruppe \(\mathfrak N\); die Faktorgmppe \(\mathfrak G/\mathfrak N\) ist halbeinfach. Jetzt wird die \textit{Cartan}sche Strukturtheorie der halbeinfachen Gruppen herangezogen und mit ihrer Hilfe zunächst der Fall eines halbeinfachen \(\mathfrak G\) und schließlich auf Grund der obigen Bemerkung der allgemeinste Fall behandelt. Auf eine Lücke in der Beweisführung hat \textit{H. Weyl} in seiner Besprechung der Arbeit im Zentralblatt f. Math. (4, 243) hingewiesen. Die Methoden der Arbeit sind entsprechend der überall verwendeten infinitesimalen Betrachtungsweise rein algebraisch. Auf ähnlicher Grundlage hatte bereits \textit{Maurer} einen Endlichkeitsbeweis für absolute Invarianten skizziert (1903; F. d. M. 34, 117 (JFM 34.0117.*)). Die \textit{Weitzenböck}sche Arbeit enthält gegenüber der \textit{Maurer}schen starke Vereinfachungen; sie behandelt auch Relativinvarianten, und schließlich wird gezeigt, daß eine bei \textit{Maurer} gemachte Voraussetzung über die Gruppe \(\mathfrak G\) überflüssig ist. Es sei noch bemerkt, daß \textit{H. Weyl} mit Hilfe der verallgemeinerten \textit{Hurwitz}schen Integrationsmethode den Endlichkeitsbeweis für die halbeinfachen Gruppen geführt hatte (1925; F. d. M. 51. 319). Im letzten Abschnitt der Arbeit wird einerseits die wirkliche Aufstellung der Invarianten behandelt. Ist \(\mathfrak G\) wieder eine kontinuierliche Untergruppe der projektiven Gruppe, so wird gezeigt, daß die Ermittlung der \(\mathfrak G\)-Invarianten gegebener \(n\)-ärer Grundformen zurückgeführt werden kann auf die Aufstellung der Invarianten von höchstens \(n-1\) Punkten und damit nach den oben geschilderten Betrachtungen letzten Endes auf ein Problem der projektiven Invariantentheorie binärer Formen. Andererseits wird der Adjunktionssatz bewiesen. Dieser lautet: Ist eine lineare homogene Gruppe \(\mathfrak G_r\) im \(n\)-ären Gebiet dadurch gegeben, daß die gegebenen Formen \(\{G\}\) die Transformationen von \(\mathfrak G_r\) gestatten und bestimmen, so erhält man die \(\mathfrak G_r\)-Invarianten von Grundformen \(\{F\}\), indem man vom erweiterten Grundformensystem \(\{F\}+ \{G\}\) die projektiven Komitanten aufsucht, die von den Koeffizienten der \(\{F\}\) und eventueller Koordinatenreihen ganz-rational, von den Koeffizienten der \(\{G\}\) hingegen algebraisch abhängen.