Note on diophantme automorphisms. (Q563275)

Nach \textit{E. T. Bell} (1927; F. d. M. 53, 100 (JFM 53.0100.*)) heißt eine Form \(f(x_1,\ldots,x_n)\) der \(n\) Unabhängigen \(x_i\) ``diophantisch automorph'' wenn bei homogenen, nicht linearen Substitutionen \[ X_i=X_i(x_1,\ldots,x_n)\quad (i=1,2,\ldots,n) \] die Beziehung \[ f(X_1,\ldots,X_n)=[f(x_1,\ldots,x_n)]^h\quad (h >1) \] identisch in allen \(x_i\) gilt. Die ersten Beispiele für einen diophantischen Automorphismus stammen von \textit{Eisenstein} und von \textit{Cayley}. Nimmt man für \(n =4\) die \(x_i\) als Koeffizienten einer binären kubischen Form, dann ist \[ f(x) =x_1^2x_4^2-3x_2^2x_3^2+4x_1x_3^3+4x_2^3x_4-6x_1x_2x_3x_4 \] ihre Diskriminante. Setzt man dann \[ X_1=-\frac 12 \frac {\partial f}{\partial x_4},\quad X_2=\frac 16\frac {\partial f}{\partial x_3},\quad X_3=-\frac 16\frac {\partial f}{\partial x_2},\quad X_4=\frac 12\frac {\partial f}{\partial x_1}, \] so gilt \(f(X)=f^3(x)\). Verf. geht nun aus von \[ f(X_1,\ldots,X_n) = \alpha f^{k-1}(x_1,\ldots,x_n), \leqno (1) \] \[ X_i = \sum _{j=1}^n c_{ij}\frac {\partial f}{\partial x_j}\text{ mit }\left |\frac {\partial X_i}{\partial x_j}\right |\not \equiv 0,\leqno (2) \] wo \(\alpha, k\) und \(c_{ij}\) Konstante sind, und beweist zwei sich aus diesen Voraussetzungen ergebende Sätze. Der erste sagt aus, daß die Transformationen (2) \textit{Cremona}-Transformationen der Periode zwei sind, für welche \[ X_i(X) = \alpha f^{k-2}\sum _{j=1}^n\gamma _{ij}x_j \] gilt. Hier ergibt sich ein Zusammenhang mit einem Satze von \textit{Weisner} über periodische \textit{Cremona}-Transformationen (1927; F. d. M. 53, 100 (JFM 53.0100.*)). Der zweite Satz lautet: Ist \(f(x)\) irreduzibel (im Körper der rationalen Zahlen), so gilt für die \textit{Hesse}sche Determinante von \(f(x)\): \[ H=\beta \cdot f^{\frac {n(k-2)}{k}}. \] Am Schlusse die Bemerkung, daß nicht bei jedem diophantischen Automorphismus Gleichungen der Gestalt (2) gelten.