New diophantine automorphisms. (Q563276)

Anschließend an die vorstehend besprochene Arbeit gibt Verf. eine einfache Methode, die diophantisch-automorphe Formen \(f(y_1,\ldots,y_n)\) liefert. Sei nämlich \[ \varPhi = a_x^\delta = a_0 x_1^\delta + \binom {\delta }1 a_1x_1^{\delta -1}x_2+\cdots \] eine binäre Form vom Grade \(\delta \geqq 3\) und \[ q = q_{11}x_1^2+2q_{12}x_1x_2+q_{22}x_2^2 \] eine quadratische Kovariante von \(\varPhi \), deren Koeffizienten \(q_{ik}\) vom Grad \(\varrho \) in den \(a_i\) sind. Dann gilt für die Diskriminante \(\varPsi = q_{11}q_{22} - q_{12}^2\) von \(q\) bei einer linearhomogenen Transformation mit der Determinante \(\varDelta \), wenn \(A_i\) die transformierten \(a_i\), bedeuten: \[ \varPsi (A)=\varDelta ^{\delta \varrho }\cdot \varPsi (a),\quad \varDelta =\begin{vmatrix} \alpha _{11} & \alpha _{12}\\\alpha _{21} &\alpha _{22}\end{vmatrix} \neq 0.\leqno (1) \] Wählt man jetzt die \(\alpha _{ik}\) wie folgt: \[ \alpha _{11} =q_{12},\quad \alpha _{12} = q_{22},\quad \alpha _{21} = -q_{11},\quad \alpha _{22} = -q_{12}, \] so geht \(\varDelta \) in \(\varPsi \) über und aus (1) wird \[ \varPsi (A) = [\varPsi (a)]^{\delta \varrho +1},\leqno (2) \] wobei die \(A_i\) jetzt Formen der \(a_i\) vom Grade \(\delta \varrho +1\) sind. Verf. gibt auch symbolische Ausdrücke und geht dann zu speziellen Werten von \(\delta \) über, wobei \(\delta = 5\) und \(\delta = 7\) kurz besprochen werden. Er weist auch kurz auf die mögliche Verallgemeinerung hin, die sich ergibt, wenn man statt binärer Formen solche mit mehr Veränderlichen als Ausgangspunkt nimmt.