Bemerkungen über die Existenz des Einheitselements in Ringbereichen. (Q563360)

Ist ein idempotenter (nicht kommutativer) Ring \(\mathfrak R\) mit Doppelkettensatz für Rechtsideale mit jedem maximalen zweiseitigen Ideal vertauschbar, so hat der Ring ein Einheitselement. Ist der Ring nicht notwendig idempotent, erfüllt er aber die übrigen genannten Bedingungen, so ist er als direkte Summe eines Ringes \(\mathfrak R_0\) mit Einheitselement und eines nilpotenten Ringes \(\mathfrak R'\) darstellbar. \(\mathfrak R_0\) ist bestimmt durch \(\mathfrak R_0=\mathfrak R^k=\mathfrak R^{k+1}\) für endliches \(k\) (Vielfachkettensatz). Hat der Ring keine Totalnullteiler, so ist \(\mathfrak R'\) das Nullideal; man erhält einen idempotenten Ring. - Femer wird die Darstellung des Nullideals als kleinstes gemeinsames Vielfaches von ``Primäridealen'', die zu den zweiseitigen Maximalidealen gehören, untersucht. - Existiert im Ring nur der Teilerkettensatz für Rechtsideale, und ist \(\mathfrak R\) eine Linkseinheit für Linksideale, so existiert sicher ein Linkseinheitselement.