Hyperkomplexe Systeme in ihren Beziehungen zur kommutativen Algebra und Zahlentheorie. (Q563390)

Verf. berichtet über die auf Grund der Algebrentheorie erzielten Fortschritte in der Arithmetik der Zahlkörper. Sie charakterisiert die hyperkomplexe Behandlung kommutativer Fragestellungen durch folgendes Prinzip: Man sucht vermöge der Theorie der Algebren invariante und einfache Formulierungen für bekannte Tatsachen über quadratische Formen oder zyklische Körper zu gewinnen, d. h. solche Formulierungen, die nur von Struktureigenschaften der Algebren abhängen. Hat man einmal diese invarianten Formulierungen bewiesen, so ist damit von selbst eine Übertragung dieser Tatsachen auf beliebige galoissche Körper gewonnen. Diese Methode wird am Beispiel des Normensatzes und des Hauptgeschlechtssatzes näher erläutert. Der Übergang zur Algebra wird hier durch die Verknüpfung des Körpers \( K \) mit seiner Gruppe im verschränkten Produkt \((a_{S,T},K)\) mit Faktorensystem \( a_{S,T}\) erreicht. Da die einem zyklischen Körper \(Z\) entsprechende zyklische Algebra \((\alpha,Z)\) dann und nur dann zerfällt, wenn \(\alpha \) Norm aus \(Z\) ist, wird der Normensatz ein Spezialfall des (rein algebraischarithmetisch aus ihm beweisbaren) Satzes, daß eine überall (d. h. für jede Primstelle des Grundkörpers) zerfallende Algebra schlechthin zerfällt. Die die invariante Formulierung des Hauptgeschlechtssatzes betreffenden Überlegungen hat Verf. an anderer Stelle (1933; JFM 59.0941.*) ausführlich dargestellt. Über das ganze in dem Vortrag behandelte Gebiet orientiert das Kap. VII von \textit{Deuring}, Algebren (1936; JFM 61.0118.*).