Untersuchungen über Teilbarkeitseigenschaften in Körpern. (Q563408)

Der Untersuchung werden kommutative Körper \(\mathfrak K\) zugrunde gelegt, in denen ganze Elemente ausgezeichnet sind; diese ganzen Elemente bilden einen Ring mit dem Quotientenkörper \(\mathfrak K\). In Verallgemeinerung des \textit{Dedekind}schen Begriffes werden durch die folgenden fünf Eigenschaften Systeme von Idealen \((a_1,a_2,\ldots,a_n)\) definiert, die durch die Elemente \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) erzeugt werden: 1) \(a_\nu \subset (a_1,\ldots,a_n)\) für \(\nu =1,\ldots,n\). 2) Wenn \(a_\nu \subset (b_1,\ldots,b_m)\) für \(\nu =1,\ldots,n\), dann ist auch \((a_1,\ldots,a_n)\subset (b_1,\ldots,b_m)\). 3) \((a)\) besteht aus den ganzen Vielfachen von \(a\). 4) Wenn \(a\subset (a_1,\ldots,a_n)\), dann ist \(ab\subset (a_1b,a_2b,\ldots,a_nb)\). 5) Es ist \(a+b\subset (a,b)\). Es werden im folgenden drei Beispiele von Idealsystemen betrachtet. I. Das Idealsystem \(\mathfrak L:(a_1,\ldots,a_n)_{\mathfrak L}\) besteht aus den Vielfachsummen \[ X_1a_1+X_2a_2+\cdots +X_na_n\text{ mit ganzen }X_\nu. \] II. Das Idealsystem \(\mathfrak A(a_1,\ldots,a_n)_{\mathfrak A}\) besteht aus den Elementen \(r\), die einer Gleichung \[ r^k+f_1(a_1,\ldots,a_n)r^{k-1}+\cdots +f_k(a_1,\ldots,a_n)=0 \] genügen, wobei \(f_i(a_1,\ldots,a_n)\) ein homogenes Polynom \(i\)-ten Grades in \(a_1,\ldots,a_n\) mit ganzen Koeffizienten ist. Es folgt sofort \((a_1,\ldots,a_n)_{\mathfrak L}\subset (a_1,\ldots,a_n)_{\mathfrak A}\). III. Das Idealsystem \(\mathfrak V(a_1,\ldots,a_n)_{\mathfrak V}\) besteht aus den Vielfachen aller gemeinsamen Teiler von \(a_1,\ldots,a_n\). Ist \((a_1,\ldots,a_n)_{\mathfrak S}\) ein Ideal eines beliebigen Systems, so ist immer \((a_1,\ldots,a_n)_{\mathfrak S}\subset (a_1,\ldots,a_n)_{\mathfrak V}\). Für Idealsysteme \(\mathfrak S\) werden nun die speziellen Teilbarkeitseigenschaften \(A,B,\varGamma,\varDelta \) aufgestellt. (Das Symbol \(\mathfrak SA,\mathfrak SB,\mathfrak S\varGamma, \mathfrak S\varDelta \) bedeute, daß \(\mathfrak S\) die Eigenschaft \(A, B, \varGamma, \varDelta \) hat.) \(A\): Jedes Ideal ist Hauptideal. \(B\): Aus \(\mathfrak a\supseteqq \mathfrak b\) folgt \(\mathfrak b=\mathfrak a\mathfrak c\) mit ganzem \(\mathfrak c\). \(\varGamma \): Aus \(\mathfrak a\mathfrak c\supseteqq \mathfrak b\mathfrak c\) und \(\mathfrak c\neq (0)\) folgt \(\mathfrak a\supseteqq \mathfrak c\). \(\varDelta \): Aus \((\mathfrak a)\mathfrak c\supseteqq (\mathfrak b)\mathfrak c\) und \(\mathfrak c\neq (0)\) folgt: \(\mathfrak b\) ist teilbar durch \(\mathfrak a\). Die Gültigkeit dieser Teilbarkeitseigenschaften in den verschiedenen Idealsystemen und ihre Abhängigkeit voneinander werden untersucht. Jede folgende Eigenschaft ist schwächer als die vorhergehende. Es gilt ein Monotoniesatz, nach dem die Eigenschaft \(\mathfrak S'A\) aus \(\mathfrak SA\), \(\mathfrak S'B\) aus \(\mathfrak SB\), \(\mathfrak S\varDelta \) aus \(\mathfrak S'\varDelta \) gefolgert werden kann, wenn immer \((a_1,\ldots,a_n)_{\mathfrak S}\subset (a_1,\ldots,a_n)_{\mathfrak S'}\) -. Die Eigenschaft \(\mathfrak L\varDelta \) ist charakteristisch für die ganz abgeschlossenen Körper; die Eigenschaft \(\mathfrak VA\) für die vollständigen Körper, in denen je zwei Elemente einen größten gemeinsamen Teiler haben. In den vollständigen Körpern sind die Teilbarkeitseigenschaften leicht zu übersehen. Es gibt Körper, die war nicht vollständig sind, in denen aber ein Idealsystem ``multiplikativ vollständig'' sein kann. Dann hat man eine Übersicht über die Teilbarkeitseigenschaften der Ideale und damit über die der Körperelemente. Für die multiplikative Vollständigkeit eines Idealsystems ist die Eigenschaft \(B\) notwendig und hinreichend. In diesem Fall kann man die \textit{Dedekind}sche Idealtheorie aufbauen. - Die Körper mit der Eigenschaft \(\mathfrak LA\) sind die linear-vollständigen Körper, bei denen der größte gemeinsame Teiler von zwei Elementen \(a, b\) als Vielfachsumme \(Xa + Yb\) mit ganzen \(a, b\) darstellbar ist. Es gibt vollständige Körper, die nicht linear-vollständig sind. - Ferner werden die Teilbarkeitseigenschaften bei Körpererweiterung untersucht. Es ergibt sich bei transzendenter Erweiterung: Ist \(\mathfrak K\) der rationale Funktionenkörper mit endlich oder unendlich vielen Unbestimmten über dem Körper \(\mathfrak K_1\) und gelten die Polynome mit in \(\mathfrak K_1\), ganzen Koeffizienten als ganze Elemente von \(\mathfrak K\), so folgt bzw. \(\mathfrak VA,\mathfrak VB,\mathfrak V\varGamma,\mathfrak V\varDelta \) für \(\mathfrak K\) aus der Gültigkeit der bzw. Eigenschaft für \(\mathfrak K_1\). - In einem algebraischen Funktionenkörper gilt die Eigenschaft \(\mathfrak VB\), wenn sie in dem Koeffizientenkörper gilt. - Man kann aber durch Erweiterung auch neue Teilbarkeitseigenschaften erhalten, z. B. unter gewissen Bedingungen einen Körper zu einem vollständigen Körper erweitern.