On polynomials in a Galois field. (Q563418)

\(A, E, M\) seien normierte Polynome in einer Unbestimmten über einem endlichen Körper von \( q\) Elementen, \(\tau ^{(\alpha )}(E)\) sei die Zahl der Teiler \(\alpha \)-ten Grades von \(E\), und es sei \(|E|=q^\nu \) wenn \(\nu \) der Grad von \(E\). Setzt man \[ \begin{aligned} \zeta (s)&=\sum _E |E|^{-s},\\ \sigma _\tau (E)&=\sum _{A|E}|A|^t,\end{aligned} \] so folgt auf Grund der leicht beweisbaren Identität (analog einer \textit{Ramanujan}schen) \[ \sum _E\frac {\sigma _t(E)\sigma _u(E)}{|E|^s}=\frac {\zeta (s)\zeta (s-t)\zeta (s-u)\zeta (s-t-u)}{\zeta (2s-t-u)} \] die Formel \[ \sum _{\text{Grad }E=\nu }\tau ^{(\alpha )}(E)\tau ^{(\beta )}(E)=(\alpha +1)q^\nu -\alpha q^{\nu -1}\quad (\alpha \leqq \beta, \alpha +\beta \leqq \nu ). \] Gewisse Summen der Form \[ \sum _{\text{Grad }E=\nu }\sigma _t(E)\sigma _u(E) \] lassen sich mit Hilfe der obigen Identität ausrechnen. - Es werden dann die Anzahlen der Systeme von Polynomen \(A_1,\ldots,A_k\) berechnet, die die Grade \(\alpha _1,\ldots,\alpha _k\) haben, und für die \((A_1,\ldots,A_k,M)\) oder \((A_1,\ldots,A_k)=1\), und ebenfalls die entsprechenden Anzahlen, wenn für \(A_1,\ldots,A_k\) nur quadratfreie Polynome zugelassen werden. Weiter werden das kleinste gemeinsame Vielfache und das Produkt der Polynome festen Grades angegeben, sowie das Produkt aller Polynome festen Grades, die frei von \(\varrho \)-ten Potenzen sind.