Über stetige algebraische Körper. (Q563423)

Verf. gibt eine topologische Charakterisierung des Körpers der reellen Zahlen, des Körpers der komplexen Zahlen und des Quaternionenkörpers (vgl. hierzu auch die im vorhergehenden Referat besprochene Arbeit von \textit{Baer} und \textit{Hasse}). Ein System \(K\) von Elementen \(a,b,\ldots \) heißt ein stetiger Körper, wenn es sowohl ein topologischer Raum als auch ein (nicht notwendig kommutativer) Körper ist und dabei die Funktionen \(a+b\), \(ab\), \(a-b\) und \(a/b\) in jeder der beiden Veränderlichen überall stetig sind (\(b\neq 0\) für \(a/b\)). Unter einem Isomorphismus zwischen zwei stetigen Körpern wird eine Abbildung verstanden, die gleichzeitig eine topologische Abbildung und ein Körperisomorphismus im algebraischen Sinne ist. Verf. beweist: Jeder lokal bikompakte zusammenhängende stetige Körper \(K\) ist einem der oben genannten Körper isomorph; ist \(K\) überdies kommutativ, so ist er also dem Körper der reellen oder der komplexen Zahlen isomorph. Der Beweis, der im einzelnen mit aus der Theorie der topologischen Gruppen geläufigen Schlußweisen operiert, läuft darauf hinaus, daß man zeigt: \(K\) enthält einen Körper \(D\), der dem Körper der reellen Zahlen isomorph ist, und ist ein (nullteilerfreies) hyperkomplexes System über D, also - nach \textit{Frobenius} - einer der genannten Körper. In der Behauptung kann man, wie leicht zu sehen ist, die Voraussetzung der lokalen Bikompaktheit durch die Forderung ersetzen, daß \(K\) ein lokal kompakter \textit{Hausdorff}scher Raum mit erstem Abzählbarkeitsaxiom ist; in dieser Form wird der Satz bewiesen. Die Untersuchung der Konvergenzeigenschaften führt dann zu einer Zerlegung von \(K\) in drei Teilmengen: die Menge \(\lambda \) der Elemente \(x\), für die \(x^n\rightarrow 0\) für \(n\rightarrow \infty \); die Menge \(\mu \) der Elemente \(x\), für die \(x^n\) mit \(n\rightarrow \infty \) divergiert; schließlich die Menge \(\varrho \) der Elemente \(x\), für die die Folge \(x^n\) weder gegen null konvergierende noch divergente Teilfolgen enthält. Damit ist das topologische Analogen für die Einteilung der Körperelemente in solche vom Betrag \(\lesseqqgtr 1\) gewonnen. Das Studium der Mengen \(\lambda _k\), die aus den Elementen der Form \(x_1+x_2+\cdots +x_k\), \(x_\varkappa \in \lambda \), bestehen, führt zu dem Nachweis, daß \(K\)\textit{}die Charakteristik Null hat und zur Existenz eines stetigen Teilkörpers \(R\) von \(K\), der dem Körper der rationalen Zahlen isomorph ist. Ferner gilt in \(K\) das \textit{Cauchy}sche Konvergenzkriterium, so daß die abgeschlossene Hülle von \(R\) ein dem stetigen Körper der reellen Zahlen isomorpher Teilkörper \(D\) von \(K\) ist. Aus der Kompaktheit von \(\varrho \) und Eigenschaften der \(\lambda _k\) folgt schließlich auch die Existenz einer endlichen linear unabhängigen Basis \(e=x_1,x_2,\ldots,x_n\) (\(x_\nu \in \varrho \), \(e\) Einselement) von \(K\) in Bezug auf \(D\).