Eine arithmetische Summenformel. (Q563486)

Sind \(h\) und \(k\) positive ganze rationale, zu einander teilerfremde Zahlen, so gilt, wie Verf. gezeigt hat (Zur Theorie der Modulfunktionen, J. f. M. 167 (1932), 312-336; F. d. M. 58\(_{\text{I}}\)) \[ h\sum _{\mu =1}^{k-1}\mu \left [\frac {h\mu }k\right ]+k\sum _{\nu =1}^{h-1}\nu \left [\frac {k\nu }h\right ]=\frac 1{12}(h-1)(k-1)(8hk-h-k-1).\leqno \text{I:} \] Für diese interessante Formel gibt Verf. einen neuen, ebenfalls elementaren Beweis, indem er wieder \[ h\sum _{\mu =1}^{k-1}\mu \left [\frac {h\mu }k\right ]+k\sum _{\nu =1}^{h-1}\nu \left [\frac {k\nu }h\right ] +\sum _{\varrho =1}^{hk-1}\left [\frac \varrho h\right ]\left [ \frac \varrho k\right ]=hk(h-1)(k-1)\leqno \text{II:} \] und \[ \sum _{\varrho =1}^{hk-1}\left [\frac \varrho h\right ]\left [ \frac \varrho k\right ]=\frac 1{12}(h-1)(k-1)(4hk+h+k+1)\leqno \text{III:} \] beweist. Ferner werden die Summen in I, II und III auch für \((h, k)= d > 1\) berechnet.