The linear form of numbers represented by a homogeneous polynomial in any number of variables. (Q563507)

Es sei \(H=H(x_1,x_2,\ldots,x_k)\) eine Form der Dimension \(N\) mit ganzen rationalen Koeffizienten, \(a_1,a_2,\ldots,a_r\mod n\) inkongruente, zu \(n\) teilerfremde ganze rationale Zahlen, \(n=p_1^{b_1}p_2^{b_2}\cdots p_l^{b_l}\) die Primzahlzerlegung von \(n\) und \(\lambda (n)\) die kleinste positive ganze Zahl, für die für alle zu \(n\) teilerfremden ganzen Zahlen \(s\) die Kongruenz \[ s^{\lambda (n)}\equiv 1\pmod n \] erfüllt ist. Verf. zeigt, daß nur dann die durch \(H\) eigentlich dargestellten Zahlen sämtlich den arithmetischen Progressionen \[ nz, nz+a_1,nz+a_2,\ldots,nz+a_r\leqno (1) \] angehören können, wenn \(a_1,a_2,\ldots,a_r\) die sämtlichen Elemente gewisser Nebengruppen der Untergruppe der \(N\)-ten Potenzreste in der Gruppe der zu \(n\) teilerfremden Restklassen sind. Hieraus wird gefolgert, daß \(\lambda (n)\) ein Teiler von \(rN\) sein muß, falls die durch \(H\) eigentlich dargestellten Zahlen sämtlich den Progressionen (1) angehören sollen. (Die Formulierung, daß das kleinste gemeinschaftliche Vielfache \[ \{p_1^{b_1-1}(p_1-1),\ldots,p_l^{b_l-1}(p_l-1)\} \] ein Teiler von \(rN\) sein muß, ist nicht ganz korrekt; sie braucht für \(n\equiv 0\pmod 8\) nicht richtig zu sein. Es ist nämlich \[ \begin{aligned} \lambda (n)&= \{p_1^{b_1-1}(p_1-1),p_2^{b_2-1}(p_2-1),\ldots,p_l^{b_l-1}(p_l-1)\} \text{ für }n\not \equiv 0\pmod 8,\\ \lambda (n)&= \{\frac 12 p_1^{b_1-1}(p_1-1),p_2^{b_2-1}(p_2-1),\ldots,p_l^{b_l-1}(p_l-1)\} \text{ für }n\equiv 0 \pmod 8,p_1=2.\end{aligned} \] Daher müssen auch in dem angeführten Beispiel bei \(\lambda (n)= 2\) die Lösungen \(n=8, 24\) und bei \(\lambda (n) = 6\) die Lösungen \(n=56, 72, 168, 504\) hinzugefügt werden.)