Über kubische Gleichungen mit ganzzahligen Lösungen. (Q563529)

Verf. wirft die Frage auf, welchen Bedingungen die ganzen Zahlen \(a\) und \(b\) genügen müssen, damit die Gleichung \[ x^3+ax^2+bx+c=0\leqno (1) \] durch passende Wahl von \(c\) drei ganzzahlige Lösungen erhält. Die Gleichung (1) läßt sich in den beiden Fällen \(a\equiv 0\pmod 3\) und \(a\not \equiv 0\pmod 3\) zurückführen auf eine Gleichung \[ y^3-py+q=0,\leqno (2) \] wo \(p\) und \(q\) ganze Zahlen sind und deren Lösungen ebenfalls ganzzahlig sind. Mit Hilfe der Gleichung (2) erweist sich die Darstellbarkeit von \(a^2-3b\) in der Form \[ a^2-3b=u^2+3v^2, \] wo \(u\) und \(v\) ganze Zahlen sind, als notwendig und hinreichend. Nun kann man die von \textit{Euler}, \textit{Lagrange} und \textit{Gauß} behandelte Theorie der Zahlen von der Form \(u^2+3v^2\) anwenden.