La structure de la théorie du corps de classes. (Q563607)

Dieser erste Ansatz, die Beweise für die grundlegenden Sätze der Klassenkörpertheorie einschließlich Reziprozitätsgesetz vollständig zu arithmetisieren, fußt auf folgender Definitionsanordnung: Es wird für jeden relativ-abelschen Körper \(K/k\) eine zugehörige ``\textit{Artin}gruppe'' als Gesamtheit der in \(K/k\) unverzweigten Ideale \(\mathfrak a\) aus \(k\) mit \(\left (\frac K{\mathfrak a}\right )=1\) definiert. Die Klasseneinteilung nach dem \textit{Artin}-Symbol liefert für Primideale \(\mathfrak a\) sofort das Zerlegungsgesetz und dabei eine zur \textit{Galois}gruppe von \(K/k\) isomorphe Einte ilung. Daß die \textit{Galois}gruppe vollständig durchlaufen wird, folgt allerdings erst unter Anwendung der durch \textit{Deuring} arithmetisierten Bauerschen Sätze (1935; JFM 61.0163.*). Sodann läßt sich die Tatsache, daß das \textit{Artin}-Symbol eine Kongruenzeinteilung nach Diskrimmantenteilern liefert (Reziprozitätsgesetz), auf die entsprechende Tatsache für Kreiskörperadjunktionen bei passender Kreiskörperdurchkreuzung zurückführen.