Un théorème d'arithmétique sur les courbes algébriques. (Q563638)

Skizze eines Beweises des folgenden Satzes: Die Gleichung \(F(\xi,\eta )=0\) der algebraischen Kurve \(C\) habe Koeffizienten aus dem endlichen algebraischen Zahlkörper \(k\). \(Z\) sei eine auf \(C\) nicht verzweigte algebraische Funktion von \((\xi,\eta )\), die einer Gleichung \[ Z^n+f_1(\xi,\eta )Z^{n-1}+\cdots +f_n(\xi,\eta )=0 \] genügt, wo die Koeffizienten der rationalen Funktionen \(f_i\) ebenfalls in \(k\) liegen. Dann ist für jeden algebraischen Punkt \((\xi,\eta )\) auf \(C\) die Relativdiskriminante des Körpers \(k(\xi,\eta,Z)\) in bezug auf \(k(\xi,\eta )\) Teiler einer festen natürlichen Zahl. Beschränkt man sich speziell auf die Punkte \((\xi,\eta )\) auf \(C\), deren Koordinaten zu \(k\) gehören, so liegt der Wert von \(Z\) in einem von vornherein angebbaren endlichen Oberkörper von \(k\). - Der Beweis beruht auf dem Zerlegungssatz der \textit{Weil}schen Dissertation (1929; JFM 55.0713.*).