Expansions of arithmetical functions in infinite series. (Q563646)

Zwei zahlentheoretische Funktionen \(f(n)\), \(g(n)\) heißen orthogonal, wenn sie 1) positive, ganzzahlige Perioden \(\alpha \) und \(\beta \) haben, so daß also \[ f(n+\alpha ) = f(n), \qquad g(n+\beta )=g(n) \] 2) \(\sum \limits _{n=1}^l f(n)g(n)=0\) ist (\(l\) kleinstes gemeinsames Vielfaches von \(\alpha \) und \(\beta \)). Zwei Folgen \[ \begin{matrix} f_1(n),\;f_2(n),\ldots \\ g_1(n),\;g_2(n),\ldots \\ \end{matrix} \] heißen biorthogonal, wenn \(f_i(n)\) zu \(g_j(n)\) orthogonal ist für \(i\neq j\); häufig wird noch verlangt \[ \sum ^{l_i}_{n=1}f_i(n)g_i(n) \neq 0. \] Eine Folge \[ f_1(n), f_2(n),\ldots \] heißt orthogonal, wenn \(f_i(n)\) zu \(f_j(n)\) orthogonal ist für \(i \neq j\). Hierzu tritt häufig die Bedingung \[ \sum ^{\alpha _i}_{n=1} f^2_i \neq 0. \] Ist eine zahlentheoretische Funktion \(h(n)\) nach einer von zwei biorthogonalen Folgen entwickelt: \[ h(n)=a_1f_1(n) + a_2f_2(n) + \ldots, \] so lassen sich die \(a_\nu \) mit Hilfe der \(f_\nu \) und \(g_\nu \) ähnlich wie bei \textit{Fourier}reihen berechnen. Auf direktem Wege konstruiert Verf. mit Hilfe von Einheitswurzeln orthogonale und biorthogonale Funktionen, welche die \textit{Ramanujan}schen Summen \(c_q(n)\) als Spezialfall enthalten. Eine weitere Verallgemeinerung der \(c_q(n)\) wird durch die \(L\)-Reihen erhalten. Es seien: \(n, q\) ganz und positiv, \(\lambda \) positiv, \(s = \sigma + it\), \(r\) entsprechend, \(\chi, \chi _1, \chi _2\) Charaktere mod \(k, k_1, k_2\). Dann können die verallgemeinerten Summen \(c^{(\lambda )}_q(n,\chi,\chi _1,\chi _2)\) definiert werde durch \[ \frac {L(r+s-\lambda, \chi _1)L(s,\chi _2)}{L(r,\chi )} = \sum ^\infty _{n=1}\sum ^\infty _{q=1} \frac {c^{(\lambda )}_q(n,\chi,\chi _1,\chi _2)}{q^rn^s}. \] Nachdem Verf. die Eigenschaften der \(c^{(\lambda )}_q(n,\chi,\chi _1,\chi _2)\) abgeleitet hat, benutzt er sie um zahlentheoretische Funktionen der Form \[ D(n,\chi _1,\chi _2) = \sum _{d|n}\chi _1(d)\chi _2\left (\frac {n}{d}\right )F\left (d,\frac {n}{d}\right ), \] wo \(F(u,v)\) eine beliebige Funktion von \(u\) und \(v\) ist, nach den \(c^{(\lambda )}_q(n,\chi,\chi _1,\chi _2)\) zu entwickeln. Anwendungen dieser Entwicklung werden gemacht: 1) auf die Teilerfunktion \[ \sigma _s(n,\chi _1,\chi _2)=\sum _{d|n}\chi _1(d)\chi _2\left (\frac {n}{d}\right )d^s,\qquad \sigma _s(n,1,1)=\sigma _s(n)=\sum _{d|n}d^s, \] 2) auf die verallgemeinerte \textit{Euler}sche Funktion \[ \varphi _s(n,\chi _1,\chi _2)=\sum _{d|n}\mu (d)\chi _1(d)\chi _2\left (\frac {n}{d}\right )\left (\frac {n}{d}\right )^s, \] 3) auf die Darstellung einer Zahl als Summe von Quadraten. Zuletzt werden unter Benutzung der vorhergehenden Ergebnisse und bekannter Formeln asymptotische Ausdrücke für Teilerfuktionen, insbesondere für die \((2\lambda - 1)\)-ten Potenzen der Reziproken der Teiler von \(n\) angegeben.