Wertevorrat der Dedekindschen Zetafunktion um \(\sigma = 1\). (Q563683)

In Verallgemeinerung eines \textit{Bohr-Landau}schen Satzes wird bewiesen: ``Bei beliebigen positiven \(\delta, \varepsilon \) gibt es im Gebiet \[ t>16,\;1-\eta <\sigma <1+\eta ;\quad \eta =n(t)=\frac {(\log _3t)^{t+\varepsilon }}{\log _2t} \] eine Punktmenge \(M(\delta, \varepsilon, \varkappa )\) vom Maße \(\leqq \delta \), auf der die Zetafunktion \(\zeta _\varkappa (s)\) (eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers \(\varkappa \)) jeden Wert mit höchstens einer Ausnahme unendlich oft annimmt.'' Es gibt Punkte \(t_n\), so daß \(|\zeta _\varkappa (1 + it_n)| > \text{ const }\log _2t_n\) ist. \(C_n\) sei der Kreis um \(1+it_n\) mit \(\varrho _n = \frac 12\eta (t_n)\). Dann ist \(M=\sum C_n\). Ließe dort \(\zeta _\varkappa \) zwei Werte aus, so ergibt sich nach \textit{Valiron} (1927; F. d. M. 53, 303 (JFM 53.0303.*)) eine obere Schranke für \(\zeta _\varkappa \) in den \(C_n\), die im Widerspruch zur unteren Grenze von \(\zeta _\varkappa (1+it_n)\) steht. (IV 4.)