Über das Maß der Menge aller \(S\)-Zahlen. (Q563730)

Unter \(S\)-Zahlen versteht man solche transzendenten Zahlen \(x\), für die jedes Polynom mit ganzrationalen Koeffizienten \(a_0, a_1,\ldots, a_m\) Ungleichung \[ |a_0 + a_1x + \cdots + a_mx^m| \geqq \varGamma (m)a^{-\gamma m} \] genügt, wobei \(a = \max (|a_0|, |a_1|,\ldots, |a_m|) \geqq 1\) ist, \(\gamma > 0\) nur von \(x\) und \(\varGamma (m) > 0\) nur von \(x\) und \(m\) abhängt. Es wird nun bewiesen: Das Flächenmaß der Menge aller Punkte in der komplexen Zahlebene, die keine \(S\)-Zahlen sind, ist Null; und spezieller: das Linienmaß der Menge aller Punkte auf der reellen Achse, die keine \(S\)-Zahlen sind, ist gleich Null. - Verf. spricht die Vermutung aus, daß sogar ``fast alle'' reellen oder komplexen Zahlen \(S\)-Zahlen mit \(\gamma \leqq \frac {1}{2}+\varepsilon \) sind, wo \(\varepsilon \) irgendeine positive Konstante bedeutet.