Zur Approximation der Exponentialfunktion und des Logarithmus. II. (Q563731)

Nach der Methode des Verf. aus Teil I [J. Reine Angew. Math. 166, 118--136 (1931; JFM 57.0242.03)] werden Aussagen über die ``Stärke'' der Transzendenz der Zahlen \(e\), \(\pi \) und der reellen Logarithmen positiver rationaler von 1 verschiedener Zahlen \(r\) gewonnen: Ist \(A(x)\) ein ganzrationalzahliges Polynom vom Grad \(\le m\) mit Koeffizientenbetragsmaximum \(a\), so gilt \[ |A(e)|\ge a^{-m-\frac {cm^2\log (m+1)}{\log \log (a)}} \quad \text{für }a \ge a_0(m) \] mit einer von \(A(x)\) und \(m\) unabhängigen positiven Konstante \(c\), ferner \[ |A(2\pi i)|\ge C(m)a^{-\gamma m}\quad \text{für }a \ge 1 \] mit einer von \(A(x)\) und \(m\) unabhängigen Konstante \(\gamma > 1\) und einer von \(m\) abhängigen positiven Konstante \(C(m)\); das letztere gilt entsprechend auch für die \(\log r\) statt \(2\pi i\).