Sur une inégalité relative aux fonctions convexes. (Q563763)

Es sei \(x_\nu \leqq x_{\nu +1}, X_{\nu } \leqq X_{\nu + 1}, 1 \leqq \nu \leqq n \). Es wird bewiesen: Notwendig und hinreichend dafür, daß \[ \sum _{\nu =1}^{n} f(x_{\nu }) \leqq \sum _{\nu =1}^{n} f(X_{\nu }) \] für alle konvexen Funktionen \(f(t)\) gilt, sind die Ungleichungen \[ \sum _{1}^{k} X_{\nu } \leqq \sum _{1}^{k} x_{\nu } \quad (1 \leqq k \leqq n-1), \qquad \sum _{1}^{n} X_{\nu } = \sum _{1}^{n} x_{\nu }. \] (Vgl. \textit{Hardy, Littlewood, Pólya}, 1929; F. d. M. \( 55_{\text{II}}\), 740)