Heronische Näherungsbrüche. (Q563777)

Verf. verallgemeinert ein Verfahren \textit{Herons}, Quadratwurzeln aus positiven Zahlen durch fortgesetzte Bildung arithmetischer und geometrischer Mittel anzunähern, auf höhere Wurzeln. Um \(\root r\of m \qquad (r>2,m>0)\) zu approximieren, seien \(a_1,b_1\) mit \[ m = a_1^{r-1} b_1, \quad a_1>b_1>0, \] irgendwie gewählt. Geizeigt wird: Die Rekursionsformeln \[ a_n =\frac {(r-1)a_{n-1} + b_{n-1}}{r}, \quad b_n = \frac {m}{a_n^{r-1}} \] liefern zwei Zahlenfolgen \(a_n \to \root r\of m,\qquad b_n \to \root r \of m \) mit \[ a_n > \root r\of m >b_n \] und \[ a_n -b_n < \frac {2}{r^2}\root r\of m \left (\frac {r^2(a_1-b_1)} {2\root r\of m}\right ) ^{2^{n-1}} \]