Über lineare Summierungsverfahren. (Q563804)

Verf. gibt notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, daß\ die Transformation \[ t_n = \sum _{\nu =0}^{\infty }a_{n\nu }s_{\nu } \tag{1} \] für jede Folge \((s_n)\) von beschränkter Variation (für jede monoton fallende konvergente Folge) konvergenzerhaltend ist,d. h. daß\ aus der Konvergenz von \((s_n)\) stets die Konvergenz von \((t_n)\) folgt. Diese Bedingungen lauten: 1) \(\lim \limits _{n\to \infty } a_{n^{\nu }}\), existiert für jedes \(\nu \). 2) Für jedes \(n\) existiert \(A_n=\sum \limits _{\nu =0}^{\infty }a_{n^{\nu }}\), und \(A_n\) konvergiert für \(n\to \infty \). 3) Es gibt ein \(M > 0\), so daß\ für jedes \(n\) und jedes \(m\) \[ \bigg | \sum _{\nu =0}^{m} a_{n^{\nu }}\bigg | <M \] bliebt. Für Folgen von beschränkter Variation ist dieser Satz schon von \textit{H. Hahn} (Monatshefte f. Math. 32 (1922), 3-88 (F. d. M. 48, 473 (JFM 48.0473.*)), insbesondre S. 21-27) bewiesen worden. Die anschließenden Bemerkungen des Verf. über das \textit{Perronsche} Verfahren bringen gleichfalls nichts wesentlich Neues. Manche Formulierung verwirrt den Leser, so z. B. die Nennung der Bedingung b) auf S. 46, die völlig in der derauf folgenden Bedingugn c) enthalten ist.